Dany jest okrąg o środku w początku układu współrzędnych promieniu równym r oraz dwa przeciwległe wierzchołki kwadratu opisanego na tym okręgu. Uzasadnij, że suma kwadratów długości AM i BM nie zależy od fcoru punktu M należącego do okręgu.
odlegość pomiędzy odcinkami utworzonymi na kole
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
odlegość pomiędzy odcinkami utworzonymi na kole
Niech \(\displaystyle{ M=(x,y)}\), wtedy\(\displaystyle{ A=(r,r), B=(-r,-r), x^{2}+y^{2}=r^{2}}\).
Ponadto
\(\displaystyle{ |AM|^{2}=(x-r)^2+(y-r)^{2}=(x^{2}+y^{2})+2r(x+y)+2r^{2}=3r^{2}+2r(x+y), \\ |BM|^{2}=(x-r)^2+(y-r)^{2}=(x^{2}+y^{2})-2r(x+y)+2r^{2}=3r^{2}-2r(x+y), \\ |AM|^{2}+|BM|^{2}=6r^{2}}\),
czyli wartość wyrażenia \(\displaystyle{ |AM|^{2}+|BM|^{2}}\) zależy tylko od promienia okręgu.
Ponadto
\(\displaystyle{ |AM|^{2}=(x-r)^2+(y-r)^{2}=(x^{2}+y^{2})+2r(x+y)+2r^{2}=3r^{2}+2r(x+y), \\ |BM|^{2}=(x-r)^2+(y-r)^{2}=(x^{2}+y^{2})-2r(x+y)+2r^{2}=3r^{2}-2r(x+y), \\ |AM|^{2}+|BM|^{2}=6r^{2}}\),
czyli wartość wyrażenia \(\displaystyle{ |AM|^{2}+|BM|^{2}}\) zależy tylko od promienia okręgu.