szescian

[dudii]

zadnako z glowy pisze poki pamietam 9oke 20080


Jest szescian. Punkt P znajduje sie w miejscu przeciecie sie przekatynch sciany bocznej.
Zostaje poprowadzona przekatna szescianu , ktorej odlegolosc od punku P wynosi

\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) oblicz pole i V szescianu.

wychodzi moze \(\displaystyle{ 24 \sqrt{3}}\) ?

[MagdaW]

Mi również wyszła taka objętość sześcianu, a pole jest równe 72. Skorzystałam z twierdzenia Talesa i tego, że przekątne w kwadracie przecinają się w połowie. Ten odcinek- odległość jest chyba rónoległy do jednej z krawędzi sześcianu Nie jestem jednak pewna na 100% mojego wyniku i za ewentualne błędy z góry przepraszam.

[JankoS]

Ten odcinek PQ nie jest równoległy do żadnej krawędzi sześcianu. Popatrzmy na rysunek, gdzie S oznacza pinkt przecięcia przekątnych sześcianu.
Odcinek PS jest zawarty w prostej prostopadłej do ściany sześcianu (i ma długość równą połowie długości krawędzi sześcianu), więc trójkąt RPS jest prostokątny, w którym PQ jest wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną RS.
Ze wzorów na długość przekątnej kwadratu i przekątnej sześcianu:
\(\displaystyle{ PR=\frac{a \sqrt{2}}{2}, \ RS=\frac{a \sqrt{3}}{2} \quad ponadto \ PS=\frac{a}{2}}\).
Liczę na dwa sposoby pole pow. trójkata prostokątnego RPS
\(\displaystyle{ \frac{RS PQ}{2}=\frac{PR PS}{2} RS PQ=PR PS \frac{a \sqrt{3}}{2} \sqrt{3}=\frac{a \sqrt{2}}{2} \frac{a}{2} \\ 3a=\frac{a ^{2} \sqrt{2}}{2} \frac{6}{ \sqrt{2}}=a a=3 \sqrt{2}}\).