Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu wewnętrznego

[matjes]

Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu wewnętrznego trójkąta od jego wierzchołków jest większa od połowy obwodu trójkąta.

[tkrass]

zaznacz dowolny punkt P a trójkącie ABC, odcinki łączące go z wierzchołkami nazwij d,e,f; a boki a,b,c. popatrz teraz na trójkąty: APB, APC, BPC. z nierówności ich boków:
\(\displaystyle{ d+e>c}\)
\(\displaystyle{ d+f>b}\)
\(\displaystyle{ f+e>a}\)
sumujemy stronami
\(\displaystyle{ d+e+d+f+f+e>c+b+a}\)
\(\displaystyle{ 2(d+e+f)>a+b+c}\)
\(\displaystyle{ d+e+f> \frac{a+b+c}{2}}\)
czyli otrzymaliśmy tezę

[chlorofil]

A ma ktoś pomysł jak wykazać, że suma odległości dowolnego punktu wewnętrznego trójkąta od jego wierzchołków jest mniejsza od obwodu trójkąta? Też chyba trzeba wykorzystać nierówność trójkąta...