trzeci bok trójkąta

[LySy007]

Dane są długości boków \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) trójkąta. Znajdź długość trzeciego boku, jeżeli kąt leżący naprzeciw tego boku jest dwa razy większy od kąta leżącego naprzeciw boku \(\displaystyle{ b}\).

[shakalmode]

Otóż ja to zrobiłem tak, nie wiem czy są gdzieś błędy ale być może.
Na przeciw boku b leży kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), zaś na przeciwko boku \(\displaystyle{ x}\) leży kąt \(\displaystyle{ 2\alpha}\). Trzeci bok oznaczyłem jako \(\displaystyle{ a}\)

z Tw. sinusów:
\(\displaystyle{ \frac {b}{\sin {\alpha}}= \frac {x}{\sin {2 }} \cos {\alpha}=2 b x}\)

z Tw. cosinusów
\(\displaystyle{ b^{2}=a^{2}+x^{2}-2 a x \cos{\alpha}}}\)
Tworzymy ukłąd równań z dwoma niewiadomymi,ale tak podstawiamy że w równaniu pozostaje nam tylko niewiadoma x:
\(\displaystyle{ \begin{cases}b^{2}=a^{2}+x^{2}-2 a x \cos{\alpha}}\\\cos {\alpha}=2 b x\end{cases}}\)

Dalej tylko obliczamy i wychodzi nam wynik zależny tylko od a i b czyli od długości które są nam dane.

[mmoonniiaa]

Ale przecież \(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{x}{2b}}\)
Końcowy wynik: \(\displaystyle{ x= \sqrt{b(b+a)}}\)