Iloczyn skalarny wektorów

[Marta99]

zad1
Wiadomo że \(\displaystyle{ l \vec{a}l =2. \ l\vec{b} l=3}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{a} \ o\ \vec{b} =-4}\)

Oblicz \(\displaystyle{ (4 \vec{a} +3 \vec{b} )o(4 \vec{a} +3 \vec{b} )}\)

zad2
Dane są punkty A i B. Na prostej będącej wykresem danej funkcji liniowej f znajdź taki punkt C by kąt ACB =90 jeśli:

\(\displaystyle{ A(10,0)}\)
\(\displaystyle{ B(5,-3)}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{3} -1}\)

[Wasilewski]

\(\displaystyle{ (4\vec{a} + 3\vec{b})\circ(4\vec{a} + 3\vec{b}) = 16 \vec{a}^2 + 24 \vec{a}\circ \vec{b} + 9\vec{b}^2 = 16\cdot 2^2 + 24 (-4) + 9 3^2 = 49}\)

[JankoS]

zad2
Dane są punkty A i B. Na prostej będącej wykresem danej funkcji liniowej f znajdź taki punkt C by kąt ACB =90 jeśli:
\(\displaystyle{ A(10,0)}\)
\(\displaystyle{ B(5,-3)}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{3} -1}\)

Jako, że funkcja jest liniowa to prawdopodobnie jest nią \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{3}x -1}\).
Niech C(x,y) należy do wykresf(x). Wtedy \(\displaystyle{ (*) y=\frac{1}{3}x -1=\frac{x-3}{3}}\)
\(\displaystyle{ \vec{CA}=[10-x,- \frac{x-3}{3}]=[10-x.\frac{3-x}{3}] \ , \ \vec{CB}=[5-x, -1-\frac{x-3}{3}]=[5-x \ \frac{-x}{3}]}\). kąt jest prosty, więc wektory miszą być prostopadłe i ich iloczn skalarny równy zero. Stąd wyznaczam x, a następnie z (*) y.