Równoległobok

[nataleczkafr]

W równoległoboku ABCD punkt M jest środkiem boku BC a punkt N jest środkiem boku CD. Przekątna BD ma długość 12. Jakie są długości odcinków na które podzieliły ją odcinki AM i AN?

[snm]

1. Spójrz na trójkąt BCD. Z tw Talesa odcinek NM ma długość równą połowie BD, więc \(\displaystyle{ |MN|=6}\)
2. Znajdź punkty będące środkami boków AB i AD i narysuj odcinek je łączący, powiedzmy OP
3. Spójrz na trójkąt MNA i poprowadź jego wysokość. Zauważ, że jest ona podzielona przez odcinki OP i DB na 3 równe części. Oznaczmy długość każdej z tych części za y, a za x oznaczmy tę "środkową" część, na jaką podzielona została przekątna DB
4. Z tw. Talesa
\(\displaystyle{ \frac{6}{3y}=\frac{x}{2y}\\\\
3xy=12y\\\\
3x=12\\\\
x=4}\)

5. Zauważ, że pozostałe odcinki, na jakie podzielona została przekątna, są równe (wydaje się oczywiste, uwazadniać można z podobieństwa

6. Zatem przekątna została podzielona na trzy odcinki o długości 4 każdy