okrąg w kwadracie

[zordolar]

W kwadrat ABCD o boku długości 2a wpisano okrąg. Oblicz długość cięciwy wyciętej przez ten okrąg z odcinka lączącego wierzchołek A ze środkiem boku CD

[Dynn]

Spróbowałbym analitycznie:
weźmy, za początek układu współrzędnych środek kwadratu i koła.
A(-a,-a)
B(a,-a)
C(a,a)
D(-a,a)

Równanie prostej A-środek CD:
\(\displaystyle{ y=2x+a}\)
Równanie koła:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=a^2}\)

Rozwiązaniami tego układu będą punkty przecięcia się prostej i okręgu. Jak je już znajdziemy, obliczymy odległość i po zabawie

podstawiając pierwszy wzór do drugiego:
\(\displaystyle{ x^2+(2x+a)^2=a^2\\
x^2+4x^2+4ax+a^2=a^2\\
5x^2+4ax=0}\)

wychodzi mi
\(\displaystyle{ x=0\\
y=a\\
\\
x=-\frac{4}{5}a\\
y=-\frac{3}{5}a}\)

zatem długość cięciwy wynosi
\(\displaystyle{ \sqrt{(0-(-\frac{4}{5}a))^2+(a-(-\frac{3}{5}a))^2}=\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{64}{25}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}}\)