okrąg w kwadracie
okrąg w kwadracie
W kwadrat ABCD o boku długości 2a wpisano okrąg. Oblicz długość cięciwy wyciętej przez ten okrąg z odcinka lączącego wierzchołek A ze środkiem boku CD
- Dynn
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 25 lut 2008, o 20:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 5 razy
okrąg w kwadracie
Spróbowałbym analitycznie:
weźmy, za początek układu współrzędnych środek kwadratu i koła.
A(-a,-a)
B(a,-a)
C(a,a)
D(-a,a)
Równanie prostej A-środek CD:
\(\displaystyle{ y=2x+a}\)
Równanie koła:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=a^2}\)
Rozwiązaniami tego układu będą punkty przecięcia się prostej i okręgu. Jak je już znajdziemy, obliczymy odległość i po zabawie
podstawiając pierwszy wzór do drugiego:
\(\displaystyle{ x^2+(2x+a)^2=a^2\\
x^2+4x^2+4ax+a^2=a^2\\
5x^2+4ax=0}\)
wychodzi mi
\(\displaystyle{ x=0\\
y=a\\
\\
x=-\frac{4}{5}a\\
y=-\frac{3}{5}a}\)
zatem długość cięciwy wynosi
\(\displaystyle{ \sqrt{(0-(-\frac{4}{5}a))^2+(a-(-\frac{3}{5}a))^2}=\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{64}{25}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}}\)
weźmy, za początek układu współrzędnych środek kwadratu i koła.
A(-a,-a)
B(a,-a)
C(a,a)
D(-a,a)
Równanie prostej A-środek CD:
\(\displaystyle{ y=2x+a}\)
Równanie koła:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=a^2}\)
Rozwiązaniami tego układu będą punkty przecięcia się prostej i okręgu. Jak je już znajdziemy, obliczymy odległość i po zabawie
podstawiając pierwszy wzór do drugiego:
\(\displaystyle{ x^2+(2x+a)^2=a^2\\
x^2+4x^2+4ax+a^2=a^2\\
5x^2+4ax=0}\)
wychodzi mi
\(\displaystyle{ x=0\\
y=a\\
\\
x=-\frac{4}{5}a\\
y=-\frac{3}{5}a}\)
zatem długość cięciwy wynosi
\(\displaystyle{ \sqrt{(0-(-\frac{4}{5}a))^2+(a-(-\frac{3}{5}a))^2}=\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{64}{25}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}}\)