Zadanie 1
Z punktu leżącego na zewnątrz okręgu poprowadzono dwie sieczne. Odcinek wewnętrzny pierwszej siecznej jest równy \(\displaystyle{ 47}\), a zewnętrzny \(\displaystyle{ 9}\). Odcinek wewnętrznydrugiej siecznej jest o \(\displaystyle{ 72}\) większy od jej odcinka zewnętrznego.Obliczyć długości obu odcinków drugiej siecznej.Zadanie 2
Dany jest trójkąt równoramienny \(\displaystyle{ ABC (|AC|=|BC|)}\), w którym podstawa \(\displaystyle{ AB}\)ma długość \(\displaystyle{ 4}\), zaś wysokość \(\displaystyle{ CD}\) równa się \(\displaystyle{ 6}\). Na ramieniu \(\displaystyle{ AC}\), jako na średnicy,zakreślono półokrąg. Punkty przecięcia półokręgu z podstawą i z ramieniem utworzyły odcinek \(\displaystyle{ DE}\). Obliczyć pole otrzymanego czworokąta \(\displaystyle{ ADEC}\), wpisanego w półokrąg.Zadanie 3
Wokrąg wpisano trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) i przez wierzchołek\(\displaystyle{ A}\) poprowadzono styczną do okręgu aż do przecięcia z przedłużeniem boku \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\).Z wierzchołków \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) opuszczono proste prostopadłe do stycznej, przy czym mniejszaz nich jest równa \(\displaystyle{ 6}\). Wiedzą, że \(\displaystyle{ |BC|=5}\) i \(\displaystyle{ |AD|=5 \sqrt{6}}\) , obliczyć pole trapezu utworzonego przez te proste prostopadłe, bok \(\displaystyle{ BC}\) i odcinek stycznej.Zadanie 4
W trapezie prostokątnym, którego wysokość jest równa \(\displaystyle{ h}\), na boku nieprostopadłym do podstawy jako na średnicy opisano koło. Okazałosię, że to kołojest styczne do przeciwległego boku prostopadłego trapezu. Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne są równe podstawom danego trapezu.Zadanie 5
Zpunkt \(\displaystyle{ A}\) leżącego na zewnątrz okręgu poprowadzono styczną i sieczną do tego okręgu. Niech \(\displaystyle{ B}\) będzie punktem styczności, a \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) punktami przecięcia siecznej i okręgu. Wykaż, że \(\displaystyle{ |AB| ^{2} = |AC| |AD|}\).Zadanie 6
Przez punkt\(\displaystyle{ A}\) nie leżący na okręgu poprowadzono dwie proste. Jedna z nich przecina okrąg w różnych punktach \(\displaystyle{ B _{1}}\) i \(\displaystyle{ C _{1}}\) , a druga - w różnych punktach \(\displaystyle{ B _{2}}\) i \(\displaystyle{ C _{2}}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ |AB _{1} | |AC _{1} |=|AB _{2} | |AC _{2} |}\).Zadanie 7
Przez końce \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) średnicy koła poprowadzono dwie cięciwy \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\). które przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\) leżącymwewnątrz koła. Wykaż, że \(\displaystyle{ |AB ^{2} |=|AC| |AP|+|BD||BP|}\).