Stosunek pól 2 figur

[EleM]

mam zadanie o nastepujacej tresci:

Stosunek pola rombu do pola koła wpisanego w ten romb wynosi \(\displaystyle{ \frac{8}{\pi}}\) . Oblicz miare konta ostrego rombu.

i nie wiem jak sobie z tym poradzic[/latex]

[Swistak]

Jeżeli przez a oznaczymy bok rombu, a przez b promień koła, to pole rombu to \(\displaystyle{ 2ab}\), a pole koła \(\displaystyle{ \pi b^{2}}\). Z tego łatwo wywnioskować i ze stosunku pól łatwo wywnioskować, że a=4b.Teraz jak poprowadzimy dwie połówki przekątnych do środka okręgu wpisanego, i połączymy ten środek z połową boku, to zauważymy, że środkowa tego trójkąta jest dwa razy krótsza niż przeciwprostokątna (własność trojkąta prostokątnego), więc jest także dwa razy dłuższa niż wysokość. Wysokość, środkowa i kawałek przeciwprostokątnej wyznaczyły nam trójkąt o kątach 90, 60, 30, więc suma dwóch kątów ostrych trójkąta rozwartokątnego równoramiennego, który powstał po proprowadzeniu środkowej jest równa 30 stopni. Z tego kąt ostry tego trójkąta prostokątnego to 15 stopni, więc kąt ostry rombu to 30 stopni.