pole trójkąta

[piotrekkazek]

Kwadrat ABCD ma bok długości 2. Trójkąt KLM jest równoboczny. Oblicz pole tego trójkąta. link do obrazka wbv.pl/images/azy0mznm02dziuz1emyz.jpg

[Gorgu]

Koleś książka do matmy i jedziesz, zadanie jest proste:

Z twierdzenia pitagorasa obliczysz długość boku |AC| potem wiadomo, że przekątne w kwadracie przecinają się w połowie tak?
powiedzmy że punkt przecięcia przekątnych to punkt O
a więc masz odcinek|AO| oraz |BO| oraz |AB|
sądze, że |AK|=1/2|AB|
|AM|=1/2|AO|
|BL|=1/2|BO|
wysokość trójkąta AOB wynosi 1 bo jest to połowa długości boków
jego pole więc wynosi 1/2(A*H)=12/(2*1)=1
Pole to można też obliczyć w inny sposób bo obydwie przekątne dzielą ten kwadrat na 4 równe trójkąty a wiemy, że pole kwadratu wynosi 4 więc 4/4=1
teraz pole trójkąta MKL jest róne jednej czwartej pola trójąta AOB (rysunek nie dokładny jest nie zobaczysz tego na nim)
a więc pole MKL jest równe 1/4
^.^

[Swistak]

Koleś książka do matmy i jedziesz, zadanie jest proste:
|AM|=1/2|AO|
|BL|=1/2|BO|

A ja sądzę, że źle sądzisz. Narazie nie znam rozwiązania, ale jeśliby połączono środki to powstałby trójkąt podobny do trójkąta większego, a jak wiadomo trójkat o kątach 45; 45; 90 i 60; 60; 60 nie są do siebie podobne.

[ Dodano: 26 Marca 2008, 18:34 ]
OK. Poprowadź sobie w takim razie odcinek OK. Jeżeli bok trójkąta równobocznego oznaczymy przez a, to odcinek OK będzie miał długość \(\displaystyle{ a\frac{\sqrt{3}+1}{2}}}\), a wiemy też, że odcinek OK ma długość 1, bo to ma długość połowy boku. Z tego po prostych przekształceniach \(\displaystyle{ a=\sqrt{3}-1}\). Podstawiając to pod wzór na pole rojkata równobocznego wychodzi, że \(\displaystyle{ P=\frac{(\sqrt{3}-1)^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{(4-2\sqrt{3})\sqrt{3}}{4}=\frac{4\sqrt{3}-6}{4}=\sqrt{3}-1,5}\).

[piotrekkazek]

Wynik wyszedł dobry. A jak rachunkowo wyznaczyć odcinek OK?

[Swistak]

Skoro |AO|=|OC|, i |AK|=|KB|, to z twierdzenia Talesa \(\displaystyle{ \frac{|OK|}{|CB|}=\frac{|AO|}{2|AO|}}\), a z tego wynika, że \(\displaystyle{ |OK|=\frac{|AO|\cdot|CB|}{2|AO|}={2}{2}=1}\).
Przez punkt N oznaczmy punkt przecięcia się odcinka OK z odcinkiem LM. Wtedy łatwo zauwayć, że \(\displaystyle{ |ON|=\frac{|LM|}{2}}\), a ze wzou na wysokość trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ |NK|=\frac{|LM|\sqrt{3}}{2}}\). więc \(\displaystyle{ |OK|=|ON|+|NK|=\frac{|LM|}{2}+\frac{|LM|\sqrt{3}}{2}=\frac{|LM|(\sqrt{3}+1)}{2}=\frac{a(\sqrt{3}+1)}{2}}\).