Udowodnij twierdzenie

[Tys]

Udowodnij twierzdenie Ptolemeusza:

W dowolnym czworokącie wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równa się sumie iloczynów długości długości boków przeciwległych.

( W czworokącie na który, nie można opisać okręgu, iloczyn długości przekątnych jest mniejszy od sumy iloczynu długości boków przeciwległych).

[Aura]

Weźmy dowolny czworokąt ABCD wpisany w okrąg. Mamy pokazać, że zachodzi zależność:
AC × BD = AB × CD + BC × AD

Z wierzchołka B wyprowadźmy prostą BE tak, aby kąty ABD i EBC były równe (punkt E oznaczamy na przecięciu prostej z przekątną AC). W wyniku tego otrzymamy trójkąty ABD i EBC. Można zaobserwować, że kąty ABD = EBC (z konstrukcji) oraz kąty ADB = ECB, jako kąty wpisane oparte na tym samym łuku. Zatem trójkąty ABD i EBC są podobne. Tak więc:
EC : AD = BC : BD,
z czego wynika, że: EC × BD = AD × BC.

Widać, że trójkąty ABE i DBC, mające równe kąty ABE i DBC oraz kąty BAC i BDC (kąty wpisane oparte na tym samym łuku) są do siebie podobne. Tak więc odpowiednie boki są proporcjonalne:
AE : DC = AB : BD,
czyli AE × BD = AB × DC.

Gdy dodamy równości EC × BD = AD × BC i AE × BD = AB × DC,
otrzymamyAE × BD + EC × BD = AB × DC + AD × BC,
co w konsekwencji daje (AE + EC) × BD = AB × DC + AD × BC
i ostatecznie AC × BD = AB × DC + AD × BC, co było do pokazania.

Dowód pochodzi z Wikipedii

[DEXiu]

Hehe. Aura ci już ładnie wyłożyła dowóc. Swoją drogą dowód twierdzenia Ptolemeusza to jeden z tudniejszych dowodów elementarnych twierdzeń geometrii płaskiej (przynajmniej jak na poziom szkoły średniej ). Ale tak czy siak Aura podała tylko dowód równości Ptolemeusza a nie pełnego twierdzenia (brakuje nierówności). Widziałem ten dowodzik, ale nie chce mi się go przepisywać. To co zapamiętałem to rozchodziło się tam o współliniowość punktów, nierówności trójkąta i jeszcze była zastosowana inwersja dla skrócenia zabawy, ale to już trochę wyższa szkoła jazdy była

[Skrzypu]

Jeśli chodzi o nierówność, to dowód zaczynana się podobnie, "na siłę" szukamy podobieństw trójkątów, chyba nic więcej nie trzeba było wiedzieć.