Pole trapezu

[Konikov]

• Środek okręgu, wpisanego w trapez prostokątny, znajduje się w odległości 4 oraz 8 od końców dłuższego ramienia trapezu. Oblicz pole tego trapezu.149s

[Swistak]

Środek okregu wpisanego leży na przecięciu dwusiecznych. Skoro dwa kąty, które leżą przy jednym ramieniu w sumie dają 180 stopni, to suma połówek miar tych katów to 90 stopni, więc kąt, pod którym przecinają się dwusieczne wychodzące z końców tego samego ramienia to 180-90=90 stopni. Z tego możemy wyliczyć długość dłuższego ramienia i jest to \(\displaystyle{ 4\sqrt{5}}\). Obliczając pole trójkąta powstałego ze środka okregu wpisanego i końców tego samego ramienia wnioskuję, że \(\displaystyle{ r=\frac{4\cdot 8}{4\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}}\). Ramię prostopadłe do podstaw ma 2 razy dłuższą długość niż promień okręgu wpisanego, wiec ma długość \(\displaystyle{ \frac{16\sqrt{5}}{5}}\). Skoro w ten trapez da się wpisać koło to suma ramion równa jest sumie podstaw, a więc połowa obwodu jest równa sumie długości ramion. Ze wzoru \(\displaystyle{ P=pr}\) wyliczam, że \(\displaystyle{ P=(\frac{16\sqrt{5}}{5}+4\sqrt{5})\cdot \frac{8\sqrt{5}}{5}=\frac {288}{5}}\).

[snm]

https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=20557
https://www.matematyka.pl/...+odleg%B3o%B6ci
http://www.matematyka.pl/...+odleg%B3o%B6ci