Pole równoległoboku

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
Konikov
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 497
Rejestracja: 13 mar 2008, o 18:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z całki tego świata
Podziękował: 66 razy
Pomógł: 44 razy

Pole równoległoboku

Post autor: Konikov »

59. Dłuższa przekątna równoległoboku o kącie ostrym \(\displaystyle{ 60 ^{o}}\) ma długość \(\displaystyle{ 3 \sqrt{7}.}\) Różnica długości jego boków wynosi 3. Oblicz pole tego równoległoboku i długość krótszej przekątnej.
snm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 468
Rejestracja: 10 mar 2007, o 12:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inąd
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 54 razy

Pole równoległoboku

Post autor: snm »

Przekątna dzieli kąt ostry na dwa kąty, każdy o mierze 30 stopni. Z wierzchołka kąta ostrego prowadzimy wysokość równoległoboku h i mamy\(\displaystyle{ sin30=\frac{h}{3\sqrt{7}}}\), więc \(\displaystyle{ h=\frac{3}{2}\sqrt{7}}\). Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny, którego jedną z przyprostokątnych jest wysokość, a przeciwprostokątną krótszy bok równoległoboku (x). Trójkąt ten ma mary kątów 30,60,90 i


\(\displaystyle{ sin60=\frac{h}{x}\\
x=\frac{\frac{3}{2}\sqrt{7}}{\sqrt{3}/2}}\)
.

Z tego otrzymujemy długości boków (x i x+3). Długość drugiej przekątej (e) obliczamy z twierdzenia pitagorasa - \(\displaystyle{ (\frac{1}{2}x+3)^{2}+h^{2}=e^{2}}\)
garb1300
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 267
Rejestracja: 22 sty 2008, o 14:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Legnica
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 76 razy

Pole równoległoboku

Post autor: garb1300 »

można skorzystać z twierdzenia cosinusów
niech d będzie daną przekątną to kąt naprzeciw niej ma 180-60 stopni
\(\displaystyle{ d ^{2} =a ^{2} +b ^{2} -2abcos(180 ^{o} -60 ^{o})}\)
zatem mamy układ równań
\(\displaystyle{ a ^{2} +b ^{2}+ab=63}\)
\(\displaystyle{ a-b=3}\)
rozwiązujesz go biorąc pod uwagę wartości dodatnie
pole obliczasz z wzoru
\(\displaystyle{ S=absin60 ^{o}}\)
a drugą przekątną
\(\displaystyle{ e ^{2} =a ^{2} +b ^{2} -2abcos60 ^{o}}\)
inka155
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 19 lis 2007, o 18:19
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: dolnośląskie ;)
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 1 raz

Pole równoległoboku

Post autor: inka155 »

snm pisze:Przekątna dzieli kąt ostry na dwa kąty, każdy o mierze 30 stopni.

Skąd to wiadomo?
Przecież to nie jest dwusieczna ( nie jest, prawda?)
garb1300
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 267
Rejestracja: 22 sty 2008, o 14:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Legnica
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 76 razy

Pole równoległoboku

Post autor: garb1300 »

Też tak uważam, przekątne nie są dwusiecznymi w równoległoboku
Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

Pole równoległoboku

Post autor: Swistak »

No garb1300 wyjął mi to rozwiązanie z ust. Zrobiłem tak samo, a potem przeczytałem, że już pracie cale zrobione .
\(\displaystyle{ P=\frac{9\sqrt{3}}{2} \ c=3\sqrt{3}}\).
ODPOWIEDZ