trójkąt

marcepan · Post autor: **marcepan** » 21 mar 2008, o 16:38

W trójkącie prostokątnym długości wysokości i środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego oraz długości przeciwprostokątnej tworzą ciąg geometryczny, którego iloczyn wyrzów jest równy 8. Oblicz promień okregu wpisanego w ten trójkąt.

Swistak · Post autor: **Swistak** » 21 mar 2008, o 17:03

W każdym tójkącie prostokąntym środkowa jest 2 razy krótsza niż przeciwprostokątna. Skoro jest to ciąg geometryczny i przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa niż srodkowa, to wysokość jest 2 razy krótsza niż środkowa. Z tego, że iloczyn ich długości to 8 łatwo wyliczyć, że wysokość ma długość 1, środkowa 2, a przeciwprostokątna 4. Wysokość dzieli nam przeciwprostokątną na odcinki o długościach x i 4-x. Korzystam z twierdzenia, że \(\displaystyle{ h=\sqrt{ab}}\), która zachodzi dla trójkąta prostokątnego gdzie h to wysokość, a a i b to długości odcinków na jakie została podzielona przeciprostokątna i rozwiązując równanie kwadratowe \(\displaystyle{ x^{2}-4x-1=0}\) obliczam, ze przeciwprostokątna została podzielona na odcinki o długościach \(\displaystyle{ 2+\sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ 2-\sqrt{3}}\). Z twierdzenia Pitagorasa obliczam, że przyprostokątna, to \(\displaystyle{ \sqrt{8+4\sqrt{3}}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{8-4\sqrt{3}}}\). \(\displaystyle{ P=\frac{4\cdot 1}{2}=2}\) P=pr, gdzie \(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c}{2}}\) i r długosć promienia wpisanego. Z tego łatwo obliczyć, że \(\displaystyle{ r=\frac{4}{4+\sqrt{8+4\sqrt{3}}+\sqrt{8-4\sqrt{3}}}}\).

marcepan · Post autor: **marcepan** » 22 mar 2008, o 16:40

ale powinno wyjść \(\displaystyle{ \sqrt{6} -2}\)

Swistak · Post autor: **Swistak** » 22 mar 2008, o 20:59

Taaa... Ciekawe jak... Sprawdziłem to 2 razy :/.

Justka · Post autor: **Justka** » 22 mar 2008, o 21:45

A nie powinno byc tak.

Jak to już Świstak policzył \(\displaystyle{ h=1, c=4, d=2}\) (h- wysokość, c- przeciwprostokatna, d- środkowa)
Nasz promień okręgu wpisanego jest równy: \(\displaystyle{ r=\frac{2P}{a+b+c}}\) lub \(\displaystyle{ r=\frac{c-(a+b)}{-2}}\) . Musimy zatem znaleść wartośc wyrażenia a+b.
Wiemy, że pole tego trójkąta jest równe: \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 4=2}\), czyli inaczej \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ab=2 \iff ab=4}\), a także \(\displaystyle{ a^2+b^2=4^2}\). Zatem (troche kombinacji) \(\displaystyle{ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab \iff (a+b)^2=16+2\cdot 4=24 \iff a+b=\sqrt{24}=2\sqrt{6}}\)
Co ostatecznie daje nam:
\(\displaystyle{ r=\frac{2\cdot 2}{2\sqrt{6}+4}=\sqrt{6}-2}\)

Swistak · Post autor: **Swistak** » 22 mar 2008, o 21:55

No fakt zgrabnie. Dziwne, ze na to nie wpadłem. Robiłem już niejedno takie zadanie, ale gdzie jest błąd w moim rozumowaniu :/??

Justka · Post autor: **Justka** » 22 mar 2008, o 22:17

Twoje rozwiązanie jest prawidłowe. Ten duży ułamek (na moje oko ) jest równy \(\displaystyle{ \sqrt{6}-2}\). Tylko jak go przekształcić?

Swistak · Post autor: **Swistak** » 22 mar 2008, o 22:23

Policzyłem to w Excelu i wyszło mi, że to jest równe około 0,49 kiedy rozwiązanie to około 0,44. Choć z doświadczenia wiem, że na Excelu nie można polegać. Spróbuję to tam powymnażać i zobaczę, czy może mi coś wyjdzie.

[ Dodano: 22 Marca 2008, 22:32 ]
Ha! Już mam .
\(\displaystyle{ \frac{4}{4+\sqrt{8+4\sqrt{3}}+\sqrt{8-4\sqrt{3}}}=\frac{2}{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}}=\frac{2}{2+\sqrt{(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}})^{2}}}=\frac{2}{2+\sqrt{2+\sqrt{3}+2+2-\sqrt{3}}}=\frac{2}{2+\sqrt{6}}=\sqrt{6}-2}\)
^^

limes123 · Post autor: **limes123** » 22 mar 2008, o 22:32

Może to pomoże:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{6}-2}=\frac{4+\sqrt{8+4\sqrt{3}}+\sqrt{8-4\sqrt{3}}}{4}\iff 2\sqrt{6}=\sqrt{8+4\sqrt{3}}+\sqrt{8-4\sqrt{3}}\iff 24=24}\) a to już dowodzi równości waszych wyników;]

Justka · Post autor: **Justka** » 22 mar 2008, o 22:36

No to po kłopocie