trrapez
-
marcepan
- Użytkownik
- Posty: 71
- Rejestracja: 17 gru 2007, o 16:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1 raz
trrapez
Pola trójkątów, których podstawami są podstawy trapezu, a wspólnymi wierzchołkami punkt przecięcia przekątnych trapezu, są równe \(\displaystyle{ S _{1}}\) i \(\displaystyle{ S _{2}}\) Oblicy pole trapezu.
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
trrapez
Krótkie rozwiązanie:
Onzaczmy A B C D wierzchołki trapezu, O pkt przecięcia się przekątnych.
Teraz \(\displaystyle{ S_1=P_{\Delta ABO}\\
S_2=P_{\Delta DCO}\\}\)
Łatwo też widać, pozostałe trójkąty AOD i COB mają takie samo pole \(\displaystyle{ S_3}\)
Z podobieństwa trókątów AOB i DOC mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_2}}=\frac{|AO|}{|OC|}}\)
Z drugiej strony trójkąty AOD i DOC mają wspólną wysokość, stąd:
\(\displaystyle{ \frac{S_3}{S_2}=\frac{|AO|}{|OC|}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_2}}=\frac{S_3}{S_2}\\
S_3=\sqrt{S_1\cdot S_2}\\
P=S_1+S_2+2S_3=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2}\)
Onzaczmy A B C D wierzchołki trapezu, O pkt przecięcia się przekątnych.
Teraz \(\displaystyle{ S_1=P_{\Delta ABO}\\
S_2=P_{\Delta DCO}\\}\)
Łatwo też widać, pozostałe trójkąty AOD i COB mają takie samo pole \(\displaystyle{ S_3}\)
Z podobieństwa trókątów AOB i DOC mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_2}}=\frac{|AO|}{|OC|}}\)
Z drugiej strony trójkąty AOD i DOC mają wspólną wysokość, stąd:
\(\displaystyle{ \frac{S_3}{S_2}=\frac{|AO|}{|OC|}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_2}}=\frac{S_3}{S_2}\\
S_3=\sqrt{S_1\cdot S_2}\\
P=S_1+S_2+2S_3=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2}\)