Punkt P należy do boku BC trójkąta równobocznego ABC

[matjes]

Punkt P należy do boku BC trójkąta równobocznego ABC. Odcinek AP ma długość 6 i tworzy z bokiem AB kąt 45 stopni. Oblicz pole trójkąta ABC.

[tkrass]

narysuj to sobie!

poprowadź wysokość PD trójkąta APB. wtedy \(\displaystyle{ |AD|=|PD|=3 \sqrt{2}}\)

DPB ma miarę 30 stopni. czyli \(\displaystyle{ \frac{|DB|}{|DP|} = sin30}\)
\(\displaystyle{ \frac{|DB|}{|DP|} = \frac{1}{ \sqrt{3} }}\)
\(\displaystyle{ |DB|= \sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ |AB|=3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{|AB| ^{2} \sqrt{3} }{4} = 6 \sqrt{3} + 9}\)

[gosia_gosia]

kąt APB= 75stopni = \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{12}}\)
z tw. sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{AP}{sin \frac{\pi}{3} }= \frac{AB}{sin \frac{5\pi}{12} }}\)
\(\displaystyle{ AB= \frac{AP sin \frac{5\pi}{12}}{sin \frac{\pi}{3}}}\)

\(\displaystyle{ sin \frac{5\pi}{12}= sin ( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} )= \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4}}\)
\(\displaystyle{ AB=3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{AB^{2} \sqrt{3} }{4}}\)
\(\displaystyle{ P=6 \sqrt{3} + 9}\)

[mlp99]

a jak zrobić to bez funkcji trygonometrycznych??