do obliczenia promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny

[marcepan]

W trójkącie prostokątnym długości wysokości i środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego oraz długości przeciwprostokątnej tworzą ciąg geometryczny, którego iloczyn wyrzów jest równy 8. Oblicz promień okregu wpisanego w ten trójkąt.
ODP; \(\displaystyle{ \sqrt{6} -2}\)

[Symetralna]

\(\displaystyle{ x}\) - wysokość opuszczona na przeciwprostokątną

\(\displaystyle{ xy}\)- środkowa

\(\displaystyle{ x y^{2}}\) przeciwprostokątna

\(\displaystyle{ x*xy * x y^{2} = 8}\)

\(\displaystyle{ (xy)^{3} = 8 xy = 2}\)

Środkowa to połowa przeciwprostokątnej, czyli \(\displaystyle{ x y^{2} = 4}\) , a \(\displaystyle{ x = 1}\)

\(\displaystyle{ a , b}\) - przyprostokątne

\(\displaystyle{ P= \frac{4*1}{2} = \frac{a*b}{2 } ab = 4}\)

Z tw. Pitagorasa:

\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} = 16}\)

Pierwsze równanie mnożymy przez 2 i dodajemy oba równania stronami :


\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} + 2ab = 24}\)

\(\displaystyle{ (a+b)^{2} = 24}\)

\(\displaystyle{ a+b = 2 \sqrt{6}}\)


\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} (a+ b + c) r}\)

\(\displaystyle{ 2 = \frac{1}{2} ( 2 \sqrt{6} + 4 ) r}\)

\(\displaystyle{ r = \frac{2}{ \sqrt{6} + 2 } = \sqrt{6} - 2}\)