Wykaż o siecznych

[Tys]

Wykaż,że:

Jeżeli dwie sieczne przecinają się w pewnym punkcie \(\displaystyle{ M}\) ( wewnętrzynym koła) to iloczyn odległości punktu \(\displaystyle{ M}\) od punktu \(\displaystyle{ A_{1}}\) ,\(\displaystyle{ B_{1}}\) w których jedna sieczna przecina okrąg jest równy iloczynowi odległości punktu \(\displaystyle{ M}\) od punktów \(\displaystyle{ A_{2}}\) ,\(\displaystyle{ B_{2}}\) , w których druga sieczna przecina okrąg.
\(\displaystyle{ |MB_{2}| |MA_{2}| = |MB_{1}| |MA_{1}|}\)


Edit by Tomek R.: \(\displaystyle{ \TeX}\)... Przypominam o konieczności pisania tex przed formułą oraz /tex za formułą (oczywiście w nawiasach kwadratowych)

[Tomasz Rużycki]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \Delta A_1A_2M\sim \Delta B_1B_2M}\) (\(\displaystyle{ \angle A_1MA_2=\angle B_1MB_2}\) - są to kąty wierzchołkowe oraz \(\displaystyle{ \angle A_1B_1B_2=\angle A_1A_2B_2}\) - są to kąty oparte na tym samym łuku). Z tego podobieństwa dostajemy:

\(\displaystyle{ \frac{|MA_2|}{|MB_1|}=\frac{|MA_1|}{|MB_2|}}\),
\(\displaystyle{ |MA_2|\cdot |MB_2|= |MA_1|\cdot |MB_1|}\), co było do wykazania.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[Aura]

A tak BTW zapytam:
Dlaczego \(\displaystyle{ |MB_{2}| |MA_{2}| = |MB_{1}| |MA_{1}|=r^{2}-d^{2}}\),
gdzie r jest promieniem okręgu, d - odległością punktu M od środka okręgu, reszta oznaczeń bez zmian

[Tomasz Rużycki]

Wskazówka: Poprowadź sobię prostą przechodzącą przez środkek okręgu i dany punkt oraz skorzystaj z twierdzenia, które zostało wyżej udowodnione:)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[DEXiu]

Ja tylko dopowiem że jest to tzw. twierdzenie o potędze punktu względem okręgu

[Tomasz Rużycki]

...przypadek, gdy owy punkt leży wewnątrz okręgu:)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki