Okrąg styczny do trójkąta

[NagashTheBlack]

Trójkąt prostokątny ABC ma boki długości 3, 4, 5. Oblicz promień okręgu stycznego do przeciwprostokątnej i prostych będących przedłużeniami przyporstokątnych.

Wszystkie moje pomysły do tego zadania skończyły się na tym, że mi średnica tego okręgu wyszła taka jak przeciwprostokątna, co jest bzdurą ;( Proszę o pomoc.

[Sylwek]

Zauważ, że środek takowego okręgu będzie leżał na dwusiecznej kąta prostego.

Parę danych:
\(\displaystyle{ \angle ACB = \\ \sin =\frac{3}{5} \\ \cos =\frac{4}{5} \\ \sin(45^o + )=\frac{7\sqrt{2}}{10}=\sin(135^o-\alpha)}\)



Załóżmy, że H jest środkiem poszukiwanego okręgu. Mamy:
\(\displaystyle{ \angle ACB = \\ \angle ABC = 45^o \\ \angle BGC= 135^o - \\ \angle IGH = 45^o + \\ HB=r\sqrt{2} \\ HI=r \\ BG=x}\)

No i tak skrótowo, najpierw z twierdzenia sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{x}{\sin }=\frac{4}{\sin(45+\alpha)}}\)

Stąd: \(\displaystyle{ x=\frac{12\sqrt{2}}{7}}\)

Stosując rozważając trójkąt prostokątny GHI:
\(\displaystyle{ \frac{HI}{HG}=\sin(45^o + )}\)

A że \(\displaystyle{ HG=r\sqrt{2}-x}\), to po przekształceniach: \(\displaystyle{ r=6}\).

[NagashTheBlack]

Wow, dzięki wielkie, raczej bym na to nie wpadł