Czworokąt wypukły. Znajdowanie jednej z krawędzi.

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
Noegrus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 116
Rejestracja: 1 kwie 2007, o 12:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 2 razy

Czworokąt wypukły. Znajdowanie jednej z krawędzi.

Post autor: Noegrus »

Witam, prosiłbym o spojrzenie na to zadanie:

"W czworokącie wypukłym ADCD długość boku AB jest równa 6. Przekątna AC tego wielokąta zawarta jest w dwusiecznej kąta A i przecina drugi przekątną w punkcie E. Wiedząc, że trójkąty ABE i CDE mają równe pola, oblicz długość boku BC."

Kombinuję na lewo i prawo ale światełka w tunelu nie dostrzegam...
Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Mortify
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 768
Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 164 razy

Czworokąt wypukły. Znajdowanie jednej z krawędzi.

Post autor: Mortify »

na moje oko to tym czworokątem jest trapez o podstawach AD i BC
\(\displaystyle{ P_{ABC}=P_{ABE}+P}\)
\(\displaystyle{ P_{BCD}=P_{DCE}+P}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC}-P_{ABE}=P_{BCD}-P_{DCE}}\)
ponieważ\(\displaystyle{ P_{ABE}=P_{DCE}}\) to \(\displaystyle{ P_{ABC}=P_{BCD}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} ah_{1}= \frac{1}{2}ah_{2}}\)
\(\displaystyle{ h_{1}=h_{2}}\) skoro wysokości opuszczone z dwóch sąsiednich wierzchołków są równe to znaczy że te dwa boki są równoległe.To z kolei oznacza, że jest to trapez
myślę, że to może pomóc w rozwiązaniu zadania. jak więcej coś wymyślę to na pewno napisze. pozdrawiam
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

Czworokąt wypukły. Znajdowanie jednej z krawędzi.

Post autor: JankoS »

Mortify pisze: to \(\displaystyle{ P_{ABC}=P_{BCD}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} ah_{1}= \frac{1}{2}ah_{2}}\)
\(\displaystyle{ h_{1}=h_{2}}\)
Nie widzę bez oznaczeń boków, skąd Koledze z równości
\(\displaystyle{ P_{ABC}=P_{BCD}}\) wynikła \(\displaystyle{ \frac{1}{2} ah_{1}= \frac{1}{2}ah_{2}}\). Co "robi" za podstawę i wysokość w jednym i drugim trójkącie?
Jest wcześnie i nie mam czasu, by to analizować. Wydaje mi się, że ta "dwusieczność" jest ważna i figurą ABCD jest szczególny trapez, czyki romb.
Awatar użytkownika
Mortify
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 768
Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 164 razy

Czworokąt wypukły. Znajdowanie jednej z krawędzi.

Post autor: Mortify »

trójkąty ABC i BCD mają wspólną podstawę BC, którą oznaczyłem jako a. wysokość opuszczoną z wierzchołka D na bok BC oznaczyłem jako \(\displaystyle{ h_{2}}\), a wysokość opuszczoną z wierzchołka A na bok BC jako \(\displaystyle{ h_{1}}\) czyli:
\(\displaystyle{ P_{ABC}= \frac{1}{2} ah_{1}}\)
\(\displaystyle{ P_{BCD}= \frac{1}{2} ah_{2}}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC}=P_{BCD}}\)
a stąd równość \(\displaystyle{ h_{1}=h_{2}}\)
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

Czworokąt wypukły. Znajdowanie jednej z krawędzi.

Post autor: JankoS »

Mortify pisze:trójkąty ABC i BCD mają wspólną podstawę BC
Teraz przejrzałem. Dzięki
Boki \(\displaystyle{ AD, BC}\) są równoległe. Z założenia i twierdzenia o prostych równoległych przeciętych trzecią \(\displaystyle{ \sphericalangle DAC= ACB= \frac{A}{2}}\). Z sumy katów w \(\displaystyle{ \Delta _{AED, } \ i \ \Delta _{CED} \quad ADC= EBC BD}\) jest dwusieczną kąta ABC i AB||CD. Figura ABCD jest rombem CD=6.
On (dowod), prawdopodobnie jest dobry,ale - nie wiem dlaczego - mi się nie podoba...
Pozdrowienia.
JanKo
Awatar użytkownika
Noegrus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 116
Rejestracja: 1 kwie 2007, o 12:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 2 razy

Czworokąt wypukły. Znajdowanie jednej z krawędzi.

Post autor: Noegrus »

Mortify, JankoS, dzięki wielkie za pomoc
ODPOWIEDZ