Trójkąt pitagorejski

Konikov · Post autor: **Konikov** » 17 mar 2008, o 16:45

4. Definicja: Trójkąt prostokątny, którego długości boków są liczbami naturalnymi, nazywamy trójkątem pitagorejskim.

Zadanie: Uzasadnij, że jeśli długości boków trójkąta są równe \(\displaystyle{ p^{2} - q ^{2}, 2pq, p^{2} + q ^{2}}\), gdzie p i q są liczbami dodatnimi takimi, że p > q, to trójkąt ten jest prostokątny, a następnie znajdź długości pozostałych boków trójkąta pitagorejskiego, którego najkrótszy bok ma długość 13.

natkoza · Post autor: **natkoza** » 17 mar 2008, o 18:27

\(\displaystyle{ (p^2-q^2)^2+(2pq)^2=p^4-2p^2q^2+q^4+4p^2q^2=p^4+2p^2q^2+q^4=(p^2+q^2)^2}\)
zatem suma kwadratów dwóch długości jest kwadratem trzeciej długości, wiec trójkąt jest prostokątny

Konikov · Post autor: **Konikov** » 18 mar 2008, o 07:19

Dzięki, a co z tą 13-stką?

Symetralna · Post autor: **Symetralna** » 18 mar 2008, o 19:10

\(\displaystyle{ p^{2} - q^{2} = (p-q)(p+q)}\)

\(\displaystyle{ (7-6)(7+6) =13}\)

\(\displaystyle{ p=7}\) \(\displaystyle{ q=6}\)

\(\displaystyle{ 2pq = 84}\)

\(\displaystyle{ p^{2} + q^{2} = 85}\)

JankoS · Post autor: **JankoS** » 18 mar 2008, o 19:38

Instalator pisze:Dzięki, a co z tą 13-stką?

Rozwiązujemy równanie \(\displaystyle{ 13 ^{2}+n ^{2}=(n+1) ^{2}, \ n \in N \ i \ n>13}\).

Mortify · Post autor: **Mortify** » 19 mar 2008, o 11:16

JankoS pisze: Rozwiązujemy równanie \(\displaystyle{ 13 ^{2}+n ^{2}=(n+1) ^{2}, \ n \in N \ i \ n>13}\).

a skąd ta własność, że to są 2 kolejne liczby naturalne?

JankoS · Post autor: **JankoS** » 19 mar 2008, o 12:34

Mortify pisze:a skąd ta własność, że to są 2 kolejne liczby naturalne?

Instalator pisze:znajdź długości pozostałych boków trójkąta pitagorejskiego, którego najkrótszy bok ma długość 13.

Zlecenie było na liczby naturalne. Oczywiście nie muszą być to kolejne, ale mogą. Mnie się akurat udało za pierwszym razem. Można badać przypadek ogólny, tzn. rozważać dowolne liczby naturalne, ale po co, skoro, jak pisał Gałczyński,a powtarzali Skaldowie "chodzi o to, żeby nie gonić króliczka, ale by złapać go."
Pozdrowienia ode mnie i od Terran.
JanKo

Symetralna · Post autor: **Symetralna** » 19 mar 2008, o 16:15

A nie lepiej zrobić to z tego twierdzenia , które było do udowodnienia? Z liczbami p i q?
Tak jak to zrobiłam w poscie przed JankoSem?
Skoro to jest polecenie do tego samego zadania, to ja odczytałam to tak, żeby wykorzystać to twierdzenie.

JankoS · Post autor: **JankoS** » 19 mar 2008, o 22:26

Symetralna pisze:A nie lepiej zrobić to z tego twierdzenia , które było do udowodnienia? Z liczbami p i q?
Tak jak to zrobiłam w poscie przed JankoSem?
Skoro to jest polecenie do tego samego zadania, to ja odczytałam to tak, żeby wykorzystać to twierdzenie.

Nie wiem, czy bym tak to zrozumiał. U Koleżanki, u mnie i w zadaniu jest twierdzenie Pitagorasa. Co łatwiej zrobić? To w gruncie rzeczy to samo, tylko inaczej zapisane. Ja bym przedstawił obydwa rozwiązanie i dostał dwunastkę.

Konikov · Post autor: **Konikov** » 21 mar 2008, o 19:28

Obydwa rozwiązania bardzo dobre, dzięki W sumie tutaj po raz pierwszy spotkałem świetnie, matematycznie myślące kobiety (nie licząc nauczycielek, chociaż niektóre z Was mogą nimi być ). I to mi się podoba!

Anxious · Post autor: **Anxious** » 15 sty 2015, o 19:18

Tylko uprzedzam tutaj osoby, które będą w przyszłości szukać rozwiązania, że powyżej nie ma poprawnego, ponieważ równanie zakładające ze są to dwie kolejne liczby naturalne tylko przypadkowo się tutaj zgadza, jak także rozwiązanie symetralnej, gdzie odgadnięte są liczby 6 i 7. Poprawnie należy rozłożyć równanie na najkrótszy bok z skróconego mnożenia, a następnie argumentując ze trzynaście jest liczbą pierwsza, więc czynnikami iloczynu w tym równaniu mogą być z naturalnych tylko liczby 1 i 13. Co daje prosty układ równań, z którego dopiero odnajdujemy liczby 6 i 7.