Dowód

[limes123]

Punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) leżą odpowiednio na bokach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\) kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\), przy czym \(\displaystyle{ BE=BF}\). Punkt \(\displaystyle{ S}\) jest rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ B}\) na prostą \(\displaystyle{ CE}\). Wykazać, że kąt \(\displaystyle{ DSF}\) jest prosty.

Próbowałem pokazać, że punkty \(\displaystyle{ D,S,F,C}\) leżą na jednym okręgu, bo z tego wynika teza, ale zawsze zatrzymywałem się w jakimś punkcie i nie umiałem dalej ruszyć. Jakie pomysły?

[Qń]

Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie takim punktem na boku \(\displaystyle{ AD}\), że \(\displaystyle{ AG=BF}\). Trójkąty prostokątne \(\displaystyle{ BFG}\) i \(\displaystyle{ EBC}\) są przystające, a ponieważ mają prostopadłe odpowiednie przyprostokątne, więc mają też prostopadłe przeciwprostokątne, a to oznacza, że punkt \(\displaystyle{ S}\) jest przecięciem odcinków \(\displaystyle{ BG}\) i \(\displaystyle{ EC}\).

Wiemy też z przystawania w/w trójkątów, że \(\displaystyle{ \sphericalangle BGF= ECB}\), co oznacza, że na \(\displaystyle{ SFCG}\) można opisać okrąg. Ale ten okrąg jest w szczególności okręgiem opisanym na \(\displaystyle{ GFC}\), a jako taki - zawiera punkt \(\displaystyle{ D}\). Stąd jest to okrąg opisany na pięciokącie \(\displaystyle{ SFCDG}\), skąd od razu (jak już zauważyłeś) wynika teza.

Q.

[frej]

\(\displaystyle{ \frac{SB}{BF}=\frac{SB}{BE}=\frac{SC}{BC}=\frac{SC}{DC}}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle DCS = \sphericalangle SBF}\) skąd \(\displaystyle{ \triangle DCS \sim \triangle SBF}\). Wobec tego \(\displaystyle{ \sphericalangle DSF= \sphericalangle DSC + \sphericalangle CSF= \sphericalangle CSF + \sphericalangle FSB = \sphericalangle CSB = 90^\circ}\)