W trójkącie ABC bok AB jest dwa razy dłuższy od środkowej CD

[matjes]

W trójkącie ABC bok AB jest dwa razy dłuższy od środkowej CD. Wyznacz miarę kąta ACB.

[binaj]

narysuj sobie okrąg o średnicy AB, wobec tego punkt C, będzie leżał na tym okręgu i \(\displaystyle{ \sphericalangle ACB =90 ^{o}}\)

[Hallena]

AB=c
BC=a
AC=b
\(\displaystyle{ c=\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}\)
podnieś obie strony do kwadratu
\(\displaystyle{ c^{2}=2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}\)
c pezenieś na lewo
\(\displaystyle{ 2c^{2}=2a^{2}+2b^{2}}\)
z tego wynika, że jest to trójkąt prostokątny

[matjes]

Dzięki za pomoc, nie wiem skąd się to wzięło, mógłbym prosić o wytłumaczenie...

\(\displaystyle{ c=\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}\)

[binaj]

z tw. cosinusów można wyprowadzić zależność,ze środkowa, poprowadzona do boku c ma długość:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}\)

[Gadziu]

Wiem, że temat stary, ale właśnie robię to zadanie i nie potrafię zrozumieć skąd ze wzoru
\(\displaystyle{ c ^{2}=a ^{2}+b ^{2}-2abcos \gamma}\) wzięło się \(\displaystyle{ c=\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}\), najbardziej zastanawia mnie to \(\displaystyle{ c^{2}}\) pod pierwiastkiem...

[piasek101]

Ze wzoru na środkową - wyprowadzenie idzie (jak już wspomniano - tw cosinusów)
z odpowiedniego równoległoboku.

[Gadziu]

A mógłbyś to rozpisać, bo próbowałem to sobie rozpisać i do tego dojść i mi nic takiego nie wychodzi

[Qń]

Ale przecież rozwiązanie używające wzoru na długość środkowej jest przesadnie skomplikowane - o wiele ładniejszy jest idea zaproponowana przez binaja: punkt \(\displaystyle{ D}\) jest jednakowo odległy od wszystkich wierzchołków trójkąta, zatem jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, a \(\displaystyle{ AB}\) jest średnicą tego okręgu.

Q.

[Gadziu]

Ok, dzięki:)