Oblicz pole czworokąta
-
- Użytkownik
- Posty: 168
- Rejestracja: 30 sie 2007, o 19:07
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 1 raz
Oblicz pole czworokąta
W czworokącie wypukłym ABCD dane są: \(\displaystyle{ |AB|=2, |BC|= \sqrt{3}, |CD|=3, |DA|=4 ,\sphericalangle DAB = \frac{\pi}{3}}\). Oblicz pole tego czworokąta.
- Dynn
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 25 lut 2008, o 20:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 5 razy
Oblicz pole czworokąta
Może tak:
Rozważmy trójkąt ABD.
ma on długości boków 2 i 4 i kąt między nimi 60 stopni - łatwo zauważyć, że jest to trójkąt prostokątny (połówka trójkąta równobocznego) - przyprostokątne \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\) (tą drugą łatwo wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa) - zatem jego pole wynosi
\(\displaystyle{ P_A_B_D=\frac{2\sqrt{3} 2}{2}=2\sqrt{3}}\)
Teraz zastanówmy się nad trójkątem BCD...
Ma on długości boków: \(\displaystyle{ 3, \sqrt{3}, 2\sqrt{3}}\) (ten ostatni to jedna z przyprostokątnych w trójkącie ABD).
Jest on prostokątny, ponieważ:
\(\displaystyle{ 3^{2} + (\sqrt{3}) = (2\sqrt{3})^{2}}\)
Zatem jego pole wynosi:
\(\displaystyle{ P_B_C_D = \frac{3\cdot\sqrt{3}}{2}}\)
Pole całego czworokąta jest równe sumie pól tych trójkątów:
\(\displaystyle{ P_A_B_C_D=P_A_B_D+P_B_C_D=2\sqrt{3}+\frac{3\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{7\cdot\sqrt{3}}{2}}\)
jeśli się nie pomyliłem w rachunkach...
Rozważmy trójkąt ABD.
ma on długości boków 2 i 4 i kąt między nimi 60 stopni - łatwo zauważyć, że jest to trójkąt prostokątny (połówka trójkąta równobocznego) - przyprostokątne \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\) (tą drugą łatwo wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa) - zatem jego pole wynosi
\(\displaystyle{ P_A_B_D=\frac{2\sqrt{3} 2}{2}=2\sqrt{3}}\)
Teraz zastanówmy się nad trójkątem BCD...
Ma on długości boków: \(\displaystyle{ 3, \sqrt{3}, 2\sqrt{3}}\) (ten ostatni to jedna z przyprostokątnych w trójkącie ABD).
Jest on prostokątny, ponieważ:
\(\displaystyle{ 3^{2} + (\sqrt{3}) = (2\sqrt{3})^{2}}\)
Zatem jego pole wynosi:
\(\displaystyle{ P_B_C_D = \frac{3\cdot\sqrt{3}}{2}}\)
Pole całego czworokąta jest równe sumie pól tych trójkątów:
\(\displaystyle{ P_A_B_C_D=P_A_B_D+P_B_C_D=2\sqrt{3}+\frac{3\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{7\cdot\sqrt{3}}{2}}\)
jeśli się nie pomyliłem w rachunkach...