Długość promienia okręgu wpisanego do opisanego na trójkącie

[AgnieszkaP]

W trójkącie równoramiennym kąt przy postawie ma miarę alfa. Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na nim.

[garb1300]

R-promień okręgu opisanego
r-promień okręgu wpisanego
W trójkącie równoramiennym długość podstawy \(\displaystyle{ a=2bcos\alpha}\)
Wzory potrzebne - wzory na pole
\(\displaystyle{ S= \frac{absin\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ S=pr}\) gdzie p-połowa obwodu \(\displaystyle{ p= \frac{a+2b}{2}}\)
Podstaw do tych wzorów za \(\displaystyle{ a=2bcos\alpha}\) i porównaj je.
Następnie korzystając z twierdzenia sinusów podstaw za \(\displaystyle{ b=2Rsin\alpha}\)
Z otrzymanej równości wyznacz \(\displaystyle{ \frac{r}{R}}\)