trojkąt prostokątny

[pool]

W trójkącie prostokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) przyprostokątna \(\displaystyle{ AC}\) ma długość \(\displaystyle{ 4}\), a przeciwprostokątna \(\displaystyle{ AB}\) ma długość \(\displaystyle{ 4 \sqrt{5}}\). Punkt \(\displaystyle{ D}\) jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) na przeciwprostokątną. Uzasadnij, że trójkąt \(\displaystyle{ ACD}\) jest podobny do trójkąta \(\displaystyle{ CDB}\) oraz znajdź skalę tego podobieństwa.

[wb]

Trójkąty ACD i CDB są podobne na mocy cechy podobienstwa (kk) ponieważ:
1) oba trójkąty są prostokątne,
2) kąt przy wierzchołku A w trójkącie ACD jest równy kątowi przy wierzchołku C w trójkącie CDB.

Skala podobienstwa:
\(\displaystyle{ k= \frac{4}{\sqrt{(4\sqrt5)^2-4^2}}= \frac{4}{8}= \frac{1}{2}}\)