Czworokąt wpisany w okrąg i trójkąt równoboczny

[dziobal89]

Czworokąt ABCD wpisany jest w okrąg. Wierzchołki A, B i C są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Wykaż, że w tym czworokącie długość przekątnej BD jest równa sumie długości boków AD i CD.

[Dynn]

Wystarczy zapisać twierdzenie Ptolemeusza dla tego czworokąta:

\(\displaystyle{ |AC| |BD| = |AB| |CD| + |BC| |AD|}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ |AC| = |BC| = |AB|}\)

to możemy napisać:

\(\displaystyle{ |AC| |BD| = |AC| |CD| + |AC| |AD|}\)

i podzielić stronami przez \(\displaystyle{ |AC|}\)

\(\displaystyle{ |BD| = |CD| + |AD|}\)

c.n.d.