Przeprowadzić dowód w równoległoboku

[pzielak]

W równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) na przekątnej \(\displaystyle{ AC}\) wybieramy punkt \(\displaystyle{ M}\). Przez ten punkt prowadzimy proste równoległe do boków \(\displaystyle{ AB \ i \ AD}\). Prosta równoległa do \(\displaystyle{ AB}\) przecina boki \(\displaystyle{ AD \ i \ BC}\) tego równoległoboku odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ M_{1} \ i \ M_{2}}\), zaś prosta równoległa do prostej \(\displaystyle{ AD}\) przecina boki \(\displaystyle{ AB \ i \ CD}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ M_{3} \ i \ M_{4}}\).
a) Udowodnij, że \(\displaystyle{ MM_{1}*MM_{4}=MM_{2}*MM_{3}}\)
b) Dla jakich punktów \(\displaystyle{ M \ M_{2}M_{3} \ || \ M_{1}M_{4}}\)

[Dynn]

Równoległoboki \(\displaystyle{ AM_3MM_1}\) i \(\displaystyle{ MM_2CM_4}\) są podobne do siebie i do \(\displaystyle{ ABCD}\). (mają równoległe krawędzie i przękątną pod tym samym kątem)

Ich odpowiadające boki są zatem proporcjonalne:
Porównując \(\displaystyle{ AM_3MM_1}\) do \(\displaystyle{ ABCD}\):
\(\displaystyle{ \frac{|M_3M|}{|BC|}=\frac{|M_1M|}{|DC|}}\)

Porównując \(\displaystyle{ CM_4MM_2}\) do \(\displaystyle{ CDAB}\):
\(\displaystyle{ \frac{|M_2M|}{|BA|}=\frac{|M_4M|}{|DA|}}\)

A ponieważ |AB| = |CD| i |AC| = |BD|:

\(\displaystyle{ \frac{|MM_1|}{|MM_3|}=\frac{|MM_2|}{|MM_4|}}\)

Jest to równoważne tezie z zadania.

Jeśli chodzi o b)

Jeśli \(\displaystyle{ M_2M_3 || M_1M_4}\) to równoległoboki \(\displaystyle{ M_3BM_2M}\) i \(\displaystyle{ M_1MM_4D}\) będą podobne. Zatem ich drugie przekątne - \(\displaystyle{ MB}\) i \(\displaystyle{ DM}\) też muszą być równoległe (\(\displaystyle{ \sphericalangle M_1MD = M_3BM}\)).

Ponieważ te przekątne mają punkt wspólny M, muszą leżeć na tej samej prostej \(\displaystyle{ DB}\).

Czyli warunek jest spełniony dla M leżącego na przecięciu się przekątnych równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\).