kwadrat ABCD
-
dyzzio
- Użytkownik
- Posty: 263
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sląsk
- Podziękował: 185 razy
kwadrat ABCD
Dany jest kwadrat ABCD, w którym przekątne przecinają się w pkt. O. Pkt. K jest środkiem odcinka AO, a pkt. L- środkiem boku CD. Wykaż że kat LKB jest prosty.
-
bosa_Nike
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 445 razy
kwadrat ABCD
Zrzutuj prostopadle punkt \(\displaystyle{ K}\) kolejno na boki \(\displaystyle{ AB,BC,CD,DA}\), otrzymane punkty oznacz odpowiednio \(\displaystyle{ K_1,K_2,K_3,K_4}\).
Łatwo zauważysz \(\displaystyle{ |AK_1|=|AK_4|=\frac{1}{4}\cdot |AB|\ \ |DK_3|=|K_3L|=\frac{1}{4}\cdot |AB|}\).
Oczywiście również \(\displaystyle{ |KK_2|=|KK_3|}\) oraz \(\displaystyle{ \angle BK_1K=\angle LK_3K=\angle BK_2K=\frac{\pi}{2}}\), stąd \(\displaystyle{ \triangle LKK_3\equiv\triangle BKK_1\equiv\triangle BKK_2}\) (cecha b-k-b).
Z \(\displaystyle{ \angle K_2KK_3=\frac{\pi}{2}}\) i z \(\displaystyle{ \angle BKK_2=\angle LKK_3}\) wynika, że \(\displaystyle{ \angle BKL=\frac{\pi}{2}}\).
Łatwo zauważysz \(\displaystyle{ |AK_1|=|AK_4|=\frac{1}{4}\cdot |AB|\ \ |DK_3|=|K_3L|=\frac{1}{4}\cdot |AB|}\).
Oczywiście również \(\displaystyle{ |KK_2|=|KK_3|}\) oraz \(\displaystyle{ \angle BK_1K=\angle LK_3K=\angle BK_2K=\frac{\pi}{2}}\), stąd \(\displaystyle{ \triangle LKK_3\equiv\triangle BKK_1\equiv\triangle BKK_2}\) (cecha b-k-b).
Z \(\displaystyle{ \angle K_2KK_3=\frac{\pi}{2}}\) i z \(\displaystyle{ \angle BKK_2=\angle LKK_3}\) wynika, że \(\displaystyle{ \angle BKL=\frac{\pi}{2}}\).