3 zadania z elipsami

[arpa007]

1. Dlugosc osi orbity Ziemi wynoszą 299,2 mln km i 299 mln km. Korzystajac z tego oblicz, jaka jest najmniejsza, a jaka najwieksza odleglosc Ziemi od Słonca.
2. Najmniejsza odleglosc Plutona od Słonca wynosi 4423 mln km, a najwieksza 7390 mln km, Oblicz dlugosci osii orbity Plutona.
3. Stosunek odlegolosci miedzy ogniskami do dlugosci osi wielkiej nazywamy mimosrodem elipsy. Oblicz mimosrod orbit Ziemi i Plutona

edit1 w 1 wydaje mi sie ze wystarczy dodac 299+299- os mala i 299,2+299,2-os wielka

[Wasilewski]

1) Wydaje mi się, że podane długości to osie a nie półosie, oznaczmy je jako 2a (dłuższa) i 2b (krótsza). Zorientujmy układ współrzędnych, tak że środek elipsy jest w jego środku, dłuższa oś leży na osi OX, a krótsza na osi OY. Współrzędne ognisk spełniają warunek: \(\displaystyle{ (\pm c, 0) c^2 = a^2 - b^2 c = \sqrt{a^2 - b^2}}\)
Odległość najmniejsza to różnica między długością wielkiej półosi a odległością ogniska od środka układu współrzędnych:
\(\displaystyle{ d_{min} = a - \sqrt{a^2 - b^2}}\)
Z kolei największa to suma tych odległości:
\(\displaystyle{ d_{max} = a + \sqrt{a^2 - b^2}}\)
Tak, a nie inaczej (chyba), bo Słońce znajduję się w jednym z ognisk.

[arpa007]

a 2 i 3?

[Wasilewski]

Drugie dokładnie tak samo, tyle że na odwrót, a trzecie:
\(\displaystyle{ e = \frac{2\sqrt{a^2 - b^2}}{2a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}}\)