Planimetria - zadania optymalizacyjne

[Ubuntu]

Cześć wszystkim.

Od pewnego czasu powtarzam materiał do matury. Zatrzymałem się na zadaniach optymalizacyjnych, gdyż nie dają mi spokoju dwa zadania, z którymi nie mogę się uporać. Dokładną ich treść prezentuję poniżej. Zamieszczam również odpowiedzi.

Zadanie 1.
Drut o długości 72 cm rozcięto na dwa kawałki i z każdego kawałka zbudowano brzeg trójkąta równoramiennego, przy czym stosunek długości ramienia do długości podstawy w jednym trójkącie wynosi 5:8, a w drugim 13:10. Jaki obwody mają te trójkąty jeżeli suma ich pól jest najmniejsza z możliwych?

Odp: 40 cm i 32 cm

Zadanie 2.
W zbiorze trójkątów prostokątnych o obwodzie 20 cm znajdź ten, którego pole jest największe.

Odp: Trójkąt równoramienny, którego przyprostokątne mają długość \(\displaystyle{ 20-10\sqrt{2}}\), gdzie P(x) = 10\(\displaystyle{ \frac{x^{2}-10x}{x-20}}\), x > 0 i x

[Hallena]

Zad 1
pierwszy z trójkątów niech ma boki równe 5x, 5x, 8x, drugi zaś 13y, 13y, 10y
h1 i h2 to odpowiednio wysokości pierwszego i drugiego trójkąta
\(\displaystyle{ 18x+36y=72}\)
\(\displaystyle{ h_{1}=3x}\) oraz \(\displaystyle{ h_{2}=12y}\) z twierdzenia Pitagorasa - wysokość, ramię i połowa podstawy stanowią trójkąt prostokoątny
\(\displaystyle{ h_{1}=12-6y}\)
\(\displaystyle{ min=4(4-2y)(12-6y)+5y{\cdot}12y}\)
\(\displaystyle{ y_{min}=0,888888889}\) po odpowiednich podstawieniach otzrymasz odpowiedzi.