zadanie z trójkątem i kołem

[pzielak]

ZADANIE
W trójkącie równoramiennym podstawa AB ma długość 8 cm. Promień okręgu, stycznego w punktach A i B do prostych zawierających ramiona AC i BC trójkąta, ma długość 5 cm. Oblicz pole trójkąta ABC.

Z góry wielkie dzięki za pomoc

[arpa007]

obroc swoj zeszyst/kartke o \(\displaystyle{ 90^{o}}\) w lewo(po narysowaniu srednicy kola stycznej do przedluzonych bokow AC, BC i podstawy AB)
, tak zebys widzial ze sa to 2 proste przeciete 2 rownoleglymi.
z talesa: (uzyje prostej wysokosci trojkata polaczinyej z promieniem) oraz np. prostej BC
ale zeby obliczyc,, odcinek B,pounkty stycznosci przedluzonej czesci z kolem, trzeba wyliczyc ramie trapezu o podstawach: 4-(polowa podstawy trojkata),5- wysokosci, 5-promien okregu
teraz dzielisz ten trapez na prostokat o wymierach 4x5 i rtojkat o wymierach 1x5 < przeciwprostokatna bedzie naszym ramieniem, prosto obliczyc ramie:
\(\displaystyle{ 5^2+1^2=c^2\\c= \sqrt{26}}\)

teraz juz do twierdzenia talesa mozemy przejsc. H- to wysokosc trojkata ABC
\(\displaystyle{ \frac{|BC|}{BC+ \sqrt{26}}= \frac{4}{5}\\5|BC|=4|BC|+4 \sqrt{26}\\|BC|=4 \sqrt{26}}\)
wysokosc z pitagorasa: (lub talesa)
\(\displaystyle{ h^2=(4 \sqrt{26})^2-4^2=36 -16=20}\)
Pole:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} |AB| H=20 8=80}\)

[Swistak]

Dobra ustaliliśmy, że to rozwiązanie jest złe, wiec ja zaprezentuję swoje .
Na początek zróbmy sobie taki rysunek:

AU

trjkt.jpg (9.88 KiB) Przejrzano 70 razy

.
Z punktu D, który na tym rysunku jest środkiem okręgu poprowadżmy wysokość trójkąta ABD. ABD jest to oczywiście trójkąt równoramienny, wiec jego wysokość dzieli podstawę na 2 równe odcinki, które mają po 4 cm długości. Z tw. Pitagorasa wyliczamy wysokoć tego trójkąta, która wynosi 3 cm. Przedłużając wysokość DE powstaje nam symetralna odcinka AB, a więc punkt C także na niej leży. Promień koła jest prostopadły do stycznej, a więc trójkąty ACD i ABD są trójkatami prostokątnymi. Odcinki AE i BE są wysokościami tych trójkątów, bo kąty AED i BED mają po 90 stopni. Wiemy, że wysokość dzieli trójkąt prostokątny na 2 trójkaty podobne i z owego podobieństwa wyliczamy bok AC i BC. \(\displaystyle{ \frac{AC}{AD}=\frac{AE}{ED}}\), z czego wyliczamy, że AC=20/3. Boki tego trójkąta to zatem 8; \(\displaystyle{ \frac{20}{3}; \frac{20}{3}}\). Korzystając z wzoru Herona na pole trójkąta obliczamy, że \(\displaystyle{ p=4+\frac{20}{3}=\frac{32}{3}}\) \(\displaystyle{ P=\sqrt{\frac{32}{3} \frac{8}{3} \frac{12}{3} \frac{12}{3}}=\frac{192}{9}=21\frac{1}{3}}\).

[pzielak]

Wielkie dzięki za pomoc.

Rozwiązanie Swistaka jest zgodne z odpowiedzią autora zadania, więc przyjmijmy, że jest ono poprawde.

Obaj włożyliście swoją pracę, więc otrzymujecie ode mnie punkty
Pozdrawiam