Okrąg wpisany/opisany na czworokącie.

[Corteck]

Mam 2 Twierdzenia które zapewne większość forumowiczów zna
1) W czworokąt można wpisać okrąg tylko wtedy gdy suma miar przeciwległych boków jest równa
2)Na czworokącie można opisać okrąg tylko wtedy gdy suma miar przeciwległych kątów jest równa i wynosi 180°

Jednak moim zadaniem jest je udowodnić i bardzo prosiłbym o wasza pomoc z góry dziękuje

[Aura]

1)
Skorzystaj z faktu(który da się łatwo dowieść), że jezeli dwie styczne do okregu przecinają się w punkcie P(w tym zadaniu będa to 4 wierzchołki czworokata), to odcinki łaczące punkt P z punktami styczności mają tę samą długość.

2)
Połącz dwa przeciwległe wierzchołki czworokata ze środkiem okręgu. Skorzystaj z twierdzenia o tym, że kat wpisany jest dwa razy mniejszy od kata środkowego opartego na tym samym łuku. Wtedy suma przeciwległych miar katów będzie połową kąta pełnego, co było do udowodnienia.

Dobrze by było zilustrować te dowody odpowiednimi rysunkami

[misial]

Aura, nie problem jest udowodnic to w jedna strone, problem z dowodem 'jezeli suma przeciwleglych katow wynosi 180 to na tym czworokacie mozna opisac okrag" i z "jezeli suma dlugosci naprzeciwleglych bokow jest rowna to w ten czworokat mozna wpisac okrag"
Jak ktos umie w ta strone to tez bym prosil o dowod:D

[Elvis]

Wydaje mi się, że Corteck napisał je tylko w jednš stronę, więc najwyraŸniej nie potrzebuje w drugš.

[misial]

'wtedy i tylko wtedy' oznacza rownowaznosc, a nie implikacje, czyli 2 strony! tak jest:, a nie: => (tak graficznie, jakbys mial watpliwosci)

[Tomasz Rużycki]

\(\displaystyle{ [p\Rightarrow q\wedge q\Rightarrow p] \Longleftrightarrow [p\Leftrightarrow q]}\)

Co do dowodów - postaram się w najbliższym czasie coś napisać... Dajcie mi trochę czasu:)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[Corteck]

Chodziło mi o dowód w obie strony

[Elvis]

'wtedy i tylko wtedy' oznacza rownowaznosc, a nie implikacje, czyli 2 strony! tak jest:, a nie: => (tak graficznie, jakbys mial watpliwosci)

Oczywiście, ale tych właśnie słów zabrakło. Zresztą już wszystko wyjaśniono, więc mniejsza z tym...

[Tomasz Rużycki]

W jedną stronę już masz oba... 1-sze jutro może wrzucę - teraz w pewnym momencie się zacinam

2)

Oznaczmy wierzchołki naszego czworokąta jako A B C D.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ |}\)