Pole trójkąta

[edsoon]

W trapezie ABCD ramiona mają długości |AD|=10 oraz |BC|=17, zaś tangens kąta nachylenia ramienia AD do dłuszej podstawy wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\). Oblizc pole trójkąta DBC, jeśli wiadomo, że w dany trapez można wpisać okrąg.

[arpa007]

\(\displaystyle{ tg x= \frac{4}{3}\\ \frac{sin x}{cos x}= \frac{4}{3}\\sin x= \frac{4cos x}{3}\\}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} sin^2 x+cos^2 x=1 \\ sin x= \frac{4cos x}{3} \end{cases}\\ \begin{cases} (\frac{4cos x}{3})^2+cos^2 x=1 \\ sin x= \frac{4cos x}{3} \end{cases}}\)
tu sam sobie policzysz ja juz policzylem, wychodzi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} sin x= \frac{4}{5} \\ cos x= \frac{3}{5} \end{cases}}\)

teraz juz policzymy wysopkosc majac sinusa:
\(\displaystyle{ \frac{4}{5} =sin x= \frac{H}{10}\\H=8}\)

teraz przechodzimy do drugiego ramienia i pitagoras sie klania:
\(\displaystyle{ 8^2+x^2=17^2\\x= \sqrt{225}=15}\)
ups zapomnialem policzyc podstawe tego trojkata z ramieniem 10, nie trzeba liczyc bo to trojkat pitagorejski czyli boki: 6,8,10. Wiec \(\displaystyle{ H=8 |AD|=10 y=6}\)

czyli dluzsza podstawa(b) to \(\displaystyle{ b=a+6+15+}\)
a drugie rownianie to bedzie z twierdzenia o kole wpisanym w czworokat: 10+17=a+b

ostatecznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 27=a+b \\ b=a+21 \end{cases}}\)

dalej juz mi sie niechce liczyc;]