Trójkąt prostokątny

[Marcin2706]

Witam!
Mam problem z 2 zadaniami. Oto treść:
1) Boki trójkata prostokatnego tworzą postęp arytmetyczny. Obliczyć kąty tego trójkąta.
2) Boki trójkata tworzą postep geometryczny. Oblicz katy tego trókąta.

Co do 1 zadania: rozwiązałem to zadanie na tzw. chłopski rozum tzn. wiem że trójkąt egipski jest trójkątem arytmetycznym czyli ma boki 3,4,5 i z tego trójkąta można łatwo obliczyć wartości tych kątów. Teraz jakbym nie znał własności trójkąta egipskiego to na czym konkretnie miałbym sie oprzeć?

2- prosze o wiadomości

[Wasilewski]

1) Na przykład stosując dwa wzory na pole trójkąta; jeden z wykorzystaniem promienia okręgu wpisanego, a drugi tradycyjny:
\(\displaystyle{ r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{a + a + r - a - 2r}{2} = \frac{a-r}{2} \\
P = \frac{a + b+c}{2}\cdot r = \frac{3a + 3r}{2}\cdot \frac{a-r}{2} \\
P = \frac{ab}{2} = \frac{a(a+r)}{2} \\
\frac{3(a+r) (a-r)}{2} = a(a+r) \\
3(a - r) = 2a \\
a = 3r}\)
Teraz z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ (3r)^2 + (3r + r)^2 = (3r + 2r)^2}\)
Z czego wynika, że r jest dowolną liczbą, a długości boków wynoszą: \(\displaystyle{ 3r, 4r,5r}\)

[Marcin2706]

Niestety nie rozumiem wzoru na promień okręgu wpisanego. Nie mam tego w tabklicach. Pozdrawiam

[Wasilewski]

Na pewno gdzieś jest, że promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny jest równy: \(\displaystyle{ r = \frac{a + b - c}{2}}\), ale jeśli nie znasz, to nie problem. Narysuj sobie trójkąt prostokątny i okrąg w niego wpisany, następnie narysuj promienie prostopadłe do wszystkich boków. Widać, że odcinają one na przyprostokątnych odcinki: \(\displaystyle{ a-r \ \ i \ \ b - r}\). Widzimy też, że przy kątach ostrych utworzyły się deltoidy, zatem suma cługości tych dwóch odcinków jest równa sumie długości przeciwprostokątnej, czyli:
\(\displaystyle{ a-r + b-r = c \\
a + b - c = 2r \\
r = \frac{a + b-c}{2}}\)