Na bokach kwadratu obrano punkty-wykaż

[kluczyk]

Na boku CD kwadratu ABCD obrano punkt K. Dwusieczna kąta BAK przecina bok BC w punkcie L. Wykaż, że : BL+KD=AK.

[bosa_Nike]

Niech \(\displaystyle{ |AB|=|BC|=a,\ |\angle BAK|=\alpha}\), wtedy trzeba udowodnić \(\displaystyle{ a\tan\frac{\alpha}{2}+a\tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{a}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha}}\), a to jest natychmiastowe.

[Qń]

Albo czysto geometrycznie: niech \(\displaystyle{ P}\) będzie takim punktem na przedłużeniu odcinka \(\displaystyle{ CB}\), że \(\displaystyle{ BP=DK}\). Wystarczy jeśli pokażemy, że trójkąt \(\displaystyle{ APL}\) jest równoramienny. Ale to jest oczywiste, bo \(\displaystyle{ \sphericalangle ALP = LAD = PAL}\).

Q.