Witam!
Potrzebuję rozwiązania następującego zadania:
W trapezie równoramiennym kąt ostry ma miarę 60 stopni, a długość ramienia 4cm. Na dłuższej podstawie zbudowano trójkąt równoboczny o boku równym tej podstawie tak, że otrzymano pięciokąt. Wiedząc, że obwód pięciokąta wynosi 31cm, oblicz pole tego trapezu.
Wprowadzamy oznaczenia : \(\displaystyle{ b}\) - krótsza podstawa, \(\displaystyle{ a}\) dłuższa podstawa ,\(\displaystyle{ h}\) wysokośc trapezu
Wiadomo, że \(\displaystyle{ 2a+b+4+4=31}\)
równoważnie \(\displaystyle{ 2a+b=23}\)
Teraz poprowadź wysokości z wierchołków krótszej podstawy. Powstał nam trójkąt o przyprostokątnych \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ h}\)(zarazem wysokość trapezu) oraz przeciwprostokątnej równej \(\displaystyle{ 4}\). Znając kąt liczymy \(\displaystyle{ h}\) korzystając z funkcji trygonometrycznych: \(\displaystyle{ \frac{h}{4}=sin60}\) \(\displaystyle{ \frac{h}{4} = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) \(\displaystyle{ h=2 \sqrt{3}}\)
Teraz \(\displaystyle{ c}\) z tw. Pitagorasa \(\displaystyle{ (2 \sqrt{3}) ^{2} +c ^{2} =4 ^{2}}\) \(\displaystyle{ c ^{2} =16-12}\) \(\displaystyle{ c ^{2} =4}\) \(\displaystyle{ c=2}\)
Zauważ teraz, że dłuzsza podstawa składa się z dwóch odcinków równych \(\displaystyle{ c}\) oraz jednego o długości \(\displaystyle{ b}\). Zatem \(\displaystyle{ a=b+2c}\) \(\displaystyle{ a=b+4}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ 2(b+4)+b=23}\) \(\displaystyle{ 3b=15}\) \(\displaystyle{ b=5}\)
Czyli \(\displaystyle{ a=5+4=9}\)
Teraz łatwo policzyć pole \(\displaystyle{ P= \frac{(5+9)2 \sqrt{3}}{2 }}\) \(\displaystyle{ P=14 \sqrt{3}}\)
