W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) bok \(\displaystyle{ AB}\) ma długość \(\displaystyle{ 60 cm}\), a wysokość \(\displaystyle{ CD (D AB)}\) wynosi \(\displaystyle{ 20 cm}\). W trójkąt ten wpisano prostokąt o stosunku boków \(\displaystyle{ 5:9}\) w ten sposób, że jeden bok prostokąta zawiera się w \(\displaystyle{ AB}\). Oblicz długości boków tego prostokąta.
Jak to policzyć?
Rozwiązania:
\(\displaystyle{ \frac{25}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{45}{2}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{135}{8}}\) i \(\displaystyle{ \frac{75}{8}}\)
[ Dodano: 29 Stycznia 2008, 17:28 ]
Zadanie rozwiązałem
Dla osób, które są ciekawe jak (o ile takie są):
Trójkąt może być dowolny, więc ja wybrałem równoramienny. W tym przypadku wpisany prostokąt będzie miał boki o stosunku 10:9.
Są dwa przypadki, a rozpatruję najpierw pierwszy z nich, tzn. gdy jeden z krótszych boków leży na obcinku wyznaczającym wysokość trójkąta.
Długości boków to:
\(\displaystyle{ a =20 -x}\)
\(\displaystyle{ b = 30 - y}\)
Wierzchołki prostokąta wyznaczają punkty DEFG. Punkt F leży na przeciwprostokątnej trójkąta BCD.
Korzystając z tego, że trójkąty EBF i CFG są podobne w skali k (na podstawie tego, ze mają dwa równe kąty) układam układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}(30 - y)*k = y\\x*k= 20 - x\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}k = \frac{y}{(30 - y)}\\k= \frac{(20 - x)}{x}\end{cases}}\)
A więc:
\(\displaystyle{ \frac{y}{(30 - y)} = \frac{(20 - x)}{x}}\)
Następnie korzystając ze stosunku boków:
\(\displaystyle{ \frac{20 - x}{30 - y} = \frac{10}{9}}\)
Teraz już mogę ułożyć taki układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 60 - 2y -3x = 0\\ y = 12 + 0,9x\end{cases}}\)
Którego rozwiązaniem jest x = 7,5 ( y liczyć nawet nie trzeba).
Więc:
\(\displaystyle{ a = 20 - x = 12,5}\)
\(\displaystyle{ 2b = a*\frac{9}{5} = 22,5}\)
Tak więc temat nieaktualny.