Udowodnij, że w dowolnym trapezie jego środkowa jest równa średniej arytmetycznej jego dwóch podstaw.
\(\displaystyle{ d= \frac{a+b}{2}}\)
d-środkowa trapezu
a,b - podstawy trapezu
Proszę o udowodnienie tego na rozum 3 gimnazjalisty. Słyszałem, że można to udowodnić na polach trójkątów, ale nie mogę tego zauważyć...
Dbaj o kulturę słowa pisanego
Szemek
Trapez i jego środkowa.
- Poodzian
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 11 paź 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 62 razy
Trapez i jego środkowa.
Niech wierzchołkami trapezu będą kolejno \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\)
Zatem Twoje \(\displaystyle{ a}\) będzie odcinkiem \(\displaystyle{ AB}\), a \(\displaystyle{ b}\) stanie się \(\displaystyle{ CD}\)
Środkową trapezu oznaczmy jako \(\displaystyle{ EF}\)
Teraz wystarczy poprowadzić przekątną \(\displaystyle{ AC}\), która podzieli nasz trapez na dwa trójkąty i przetnie \(\displaystyle{ EF}\) w pewnym punkcie - oznaczmy go jako \(\displaystyle{ G}\)
Łatwo wówczas zauważyć, że \(\displaystyle{ EG}\) jest linią środkową dla trójkąta \(\displaystyle{ ACD}\), zaś \(\displaystyle{ GF}\) dla \(\displaystyle{ ABC}\). Istnieje twierdzenie, które mówi, że linia środkowa danego trójkąta jest równa połowie długości podstawy tego trójkąta, zatem:
\(\displaystyle{ EG=\frac{CD}{2}}\) i \(\displaystyle{ GF=\frac{AB}{2}}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ EF=EG+GF}\), a gdy podstawimy sobie to, co napisałem linijkę wyżej otrzymamy
\(\displaystyle{ EF=\frac{CD}{2}+\frac{AB}{2}=\frac{CD+AB}{2}}\)
I to właściwie tyle
Zatem Twoje \(\displaystyle{ a}\) będzie odcinkiem \(\displaystyle{ AB}\), a \(\displaystyle{ b}\) stanie się \(\displaystyle{ CD}\)
Środkową trapezu oznaczmy jako \(\displaystyle{ EF}\)
Teraz wystarczy poprowadzić przekątną \(\displaystyle{ AC}\), która podzieli nasz trapez na dwa trójkąty i przetnie \(\displaystyle{ EF}\) w pewnym punkcie - oznaczmy go jako \(\displaystyle{ G}\)
Łatwo wówczas zauważyć, że \(\displaystyle{ EG}\) jest linią środkową dla trójkąta \(\displaystyle{ ACD}\), zaś \(\displaystyle{ GF}\) dla \(\displaystyle{ ABC}\). Istnieje twierdzenie, które mówi, że linia środkowa danego trójkąta jest równa połowie długości podstawy tego trójkąta, zatem:
\(\displaystyle{ EG=\frac{CD}{2}}\) i \(\displaystyle{ GF=\frac{AB}{2}}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ EF=EG+GF}\), a gdy podstawimy sobie to, co napisałem linijkę wyżej otrzymamy
\(\displaystyle{ EF=\frac{CD}{2}+\frac{AB}{2}=\frac{CD+AB}{2}}\)
I to właściwie tyle
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 21 sty 2008, o 10:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zabrze
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 1 raz
Trapez i jego środkowa.
Dowód dokładnie opisany znajduje się na stronie
www wiw pl/matematyka/geometria/geometria_03_05 asp
strona jest podana bez przedrostka ht tp i bez kropek ( zamiast kropek sa spacje) ponieważ nie mam jeszcze uprawnień do wysyłanie linków
www wiw pl/matematyka/geometria/geometria_03_05 asp
strona jest podana bez przedrostka ht tp i bez kropek ( zamiast kropek sa spacje) ponieważ nie mam jeszcze uprawnień do wysyłanie linków
- Rokuto
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 13:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieprz
- Podziękował: 11 razy
Trapez i jego środkowa.
Ooo... Wielkie dzięki Wam
PS. Szemek chciałem podkreślić moją trudną sytuację
PS. Szemek chciałem podkreślić moją trudną sytuację