Ze środków wszystkich boków kwadratu zatoczono koła promieniem równym połowie boku kwadratu. Wspólne części tych kół utworzyły rozetę czterolistną. Oblicz pole tej rozety.
odp: \(\displaystyle{ P=a ^{2}( \frac{\pi}{2}-1)}\)
Pole rozety
-
escargot
- Użytkownik
- Posty: 477
- Rejestracja: 30 paź 2007, o 17:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°N, 21°E
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 143 razy
Pole rozety
Wprowadźmy oznaczenia:
\(\displaystyle{ P_{1}}\) - pole kwadratu
\(\displaystyle{ P_{2}}\) - pole koła
\(\displaystyle{ P_{r}}\) - pole rozety
Zauważ że odejmując \(\displaystyle{ P_{1}-P_{2}}\) otrzymamy w kwadracie pole obszaru które nie należy do sumy pól dwóch przeciwlegle położonych do siebie okregów.
\(\displaystyle{ 2(P_{1}-P_{2})}\) to pole tej części kwadratu, która nie należy do rozety.
Czyli pole rozety to pole kwardatu pomniejszone o pole częsći kwadratu nie należącej do rozety, czyli: \(\displaystyle{ P_{r}=P_{1}-2(P_{1}-P_{2})}\) i stąd
\(\displaystyle{ P_{r}=2P_{2}-P_{1}}\)
\(\displaystyle{ P_{r}=2\pi(\frac{a}{2})^{2}-a^{2}}\)
\(\displaystyle{ P_{r}=a^{2}(\frac{\pi}{2}-1)}\)
\(\displaystyle{ P_{1}}\) - pole kwadratu
\(\displaystyle{ P_{2}}\) - pole koła
\(\displaystyle{ P_{r}}\) - pole rozety
Zauważ że odejmując \(\displaystyle{ P_{1}-P_{2}}\) otrzymamy w kwadracie pole obszaru które nie należy do sumy pól dwóch przeciwlegle położonych do siebie okregów.
\(\displaystyle{ 2(P_{1}-P_{2})}\) to pole tej części kwadratu, która nie należy do rozety.
Czyli pole rozety to pole kwardatu pomniejszone o pole częsći kwadratu nie należącej do rozety, czyli: \(\displaystyle{ P_{r}=P_{1}-2(P_{1}-P_{2})}\) i stąd
\(\displaystyle{ P_{r}=2P_{2}-P_{1}}\)
\(\displaystyle{ P_{r}=2\pi(\frac{a}{2})^{2}-a^{2}}\)
\(\displaystyle{ P_{r}=a^{2}(\frac{\pi}{2}-1)}\)