trapez równoramienny

[night_spirit]

W trapezie równoramiennym przekątna jest prostopadła do ramienia, a krótsza podstawa ma długość równą długości ramienia. Wiedząc, że wysokość trapezu ma długość \(\displaystyle{ 4\sqrt{3}}\) cm:
a)oblicz miary kątów trapezu
b)oblicz długości podstaw trapezu
c)oblicz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu
d)ustal, czy w dany trapez można wpisać okrąg.

[Mortify]

a) oznaczmy ten trapez jako ABCD, AB i CD podstawy. |BC| = |CD| = |DA| i \(\displaystyle{ \sphericalangle ACB = 90}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle DAC = DCA}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle ADC = 180 - 2 DCA}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle DCB = DCA + 90}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle DCB = CDA}\)
\(\displaystyle{ 180 - 2 DCA = 90 + DCA}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle DCA = 30}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle CDA = 180 - 2 * 30 = 120}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle DCB = 120}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle DAB = 180 - CDA = 180 - 120 = 60}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle CBA = DAB = 60}\)

b) punkt E niech bedzie miejscem styku wysokości opuszczonej z punktu C z podstawą AB:
\(\displaystyle{ \sphericalangle ECB = 30}\)
\(\displaystyle{ |ED| = \frac{4 \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = 4}\)
\(\displaystyle{ |CD| = |BC| = 2*4 = 8}\)
\(\displaystyle{ |AB| = 2|ED| + |CD| = 2*4+8 = 16}\)

c) Tw.: długość odcinka łączącego środki ramion trapezu jest średnią arytmetyczną sumy długości jego podstaw.

\(\displaystyle{ x = \frac{16+8}{2} = 12}\)

d) w czworokąt można wpisać okrąg \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) sumy przeciwległych boków są równe.
sprawdzmy czy
|AD| + |BC| = |DC| + |AB|
8+8 = 8 + 16
\(\displaystyle{ 16 24}\)
jak widzimy sumy nie sa rowne wiec nie da sie wpisac okregu w ten trapez.
Odp. Nie