Pole i obwód trapezu

[gosieniac]

Na okręgu o promieniu długości r opisano trapez prostokątny o kącie ostrym alfa. Znajdz pole i obwód trapezu.

\(\displaystyle{ P=2r ^{2} ( \frac{1}{\sin } +1)}\)
\(\displaystyle{ Obw= 4r( \frac{1}{\sin }+1)}\)

Jak wyprowadzic te wzory

[arpa007]

uzywaj latex'a tu masz link https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951
masz na samej gorze strony na czerwono

Kod: Zaznacz cały

[tex]\sin\alpha[/tex]

to wyjdzie ci \(\displaystyle{ \sin\alpha}\)

[Justka]

Wysokość trapezu jest równa \(\displaystyle{ 2r}\). Aby policzyć pole potrzebne sa nam podstawy. Z faktu że trapez ten opisany jest na okręgu mozemy skorzystac z tego że suma długości podstaw jest równa sumie długości ramion tego trapezu. A więc
a, b -podstawy
c- pierwsze ramię, d=2r- drugie ramie, a zarazem wysokość
\(\displaystyle{ a+b=c+d}\)
c obliczymy korzystając z funkcji trygonometrycznych
\(\displaystyle{ c=\frac{2r}{sin\alpha}\\
d=2r}\)
I pole
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}(a+b)h \iff a+b=c+d=\frac{2r}{sin\alpha}+2r\\
P=\frac{1}{2}( \frac{2r}{sin\alpha}+2r)\cdot 2r\\
P=2r^2(1+\frac{1}{sin\alpha})}\)
;]

A obwód:
\(\displaystyle{ O=a+b+c+d\\
O=2r+\frac{2r}{sin\alpha}+2r+\frac{2r}{sin\alpha}\\
O=4r(1+\frac{1}{sin\alpha})}\)
;]