Dany jest trójkąt ABC i punkt X na okręgu opisanym.Rzuty punktu X na prostej \(\displaystyle{ l_{AB
}}\) , \(\displaystyle{ l_{BC}}\),\(\displaystyle{ l_{AC}}\) są punktami współliniowymi.
Należy to udowodnic.
Prosta Simsona
-
Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Prosta Simsona
Nie bardzo masz co rozumieć, bo przecież tam w ogóle nie ma dowodu.
Nie tracąc ogólności można przyjąć, że punkt \(\displaystyle{ X}\) leży na łuku \(\displaystyle{ AB}\) niezawierającym punktu \(\displaystyle{ C}\). Oznaczmy rzuty punktu \(\displaystyle{ X}\) na proste \(\displaystyle{ l_{AB}, l_{BC}, l_{CA}}\) odpowiednio przez \(\displaystyle{ K,L.M}\). Mamy kolejno:
a) z uwagi na to, że \(\displaystyle{ AXBC}\) jest wpisany okrąg, jest: \(\displaystyle{ \sphericalangle XAC = XBL}\) (dlaczego?);
b) z uwagi na to, że trójkąty \(\displaystyle{ AMX}\) i \(\displaystyle{ BLX}\) są prostokątne, jest: \(\displaystyle{ \sphericalangle AXM = BXL}\);
c) z uwagi na to, że na \(\displaystyle{ AXKM}\) można opisać okrąg (dlaczego?), musi być \(\displaystyle{ \sphericalangle AXM = AKM}\); analogicznie dla czworokąta \(\displaystyle{ XLBK}\), musi więc być \(\displaystyle{ \sphericalangle BXL = BKL}\);
d) otrzymaliśmy więc, że \(\displaystyle{ \sphericalangle AKM = BKL}\), to zaś oznacza, że punkty \(\displaystyle{ M,K,L}\) leżą na jednej prostej (dlaczego?).
Szukanie odpowiedzi na pytania "dlaczego?" pozostawiam jako ćwiczenie, jeśli nie są one oczywiste .
Pozdrawiam.
Qń.
Nie tracąc ogólności można przyjąć, że punkt \(\displaystyle{ X}\) leży na łuku \(\displaystyle{ AB}\) niezawierającym punktu \(\displaystyle{ C}\). Oznaczmy rzuty punktu \(\displaystyle{ X}\) na proste \(\displaystyle{ l_{AB}, l_{BC}, l_{CA}}\) odpowiednio przez \(\displaystyle{ K,L.M}\). Mamy kolejno:
a) z uwagi na to, że \(\displaystyle{ AXBC}\) jest wpisany okrąg, jest: \(\displaystyle{ \sphericalangle XAC = XBL}\) (dlaczego?);
b) z uwagi na to, że trójkąty \(\displaystyle{ AMX}\) i \(\displaystyle{ BLX}\) są prostokątne, jest: \(\displaystyle{ \sphericalangle AXM = BXL}\);
c) z uwagi na to, że na \(\displaystyle{ AXKM}\) można opisać okrąg (dlaczego?), musi być \(\displaystyle{ \sphericalangle AXM = AKM}\); analogicznie dla czworokąta \(\displaystyle{ XLBK}\), musi więc być \(\displaystyle{ \sphericalangle BXL = BKL}\);
d) otrzymaliśmy więc, że \(\displaystyle{ \sphericalangle AKM = BKL}\), to zaś oznacza, że punkty \(\displaystyle{ M,K,L}\) leżą na jednej prostej (dlaczego?).
Szukanie odpowiedzi na pytania "dlaczego?" pozostawiam jako ćwiczenie, jeśli nie są one oczywiste .
Pozdrawiam.
Qń.