Romb i okręgi opisane

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Romb i okręgi opisane

Post autor: Sylwek »

Dany jest romb \(\displaystyle{ ABCD}\). Niech \(\displaystyle{ R}\) oznacza promień okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\), a \(\displaystyle{ r}\) promień okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABD}\). Wykaż, że pole \(\displaystyle{ S}\) tego rombu spełnia równość:
\(\displaystyle{ S=\frac{8r^3R^3}{(r^2+R^2)^2}}\)
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Romb i okręgi opisane

Post autor: »

Niech \(\displaystyle{ E}\) będzie punktem przecięcia przekątnych rombu, \(\displaystyle{ \alpha}\) - miarą kąta \(\displaystyle{ BAE}\) oraz \(\displaystyle{ a}\) - długością boku rombu.

Mamy oczywiście:
\(\displaystyle{ EB= a \sin \\
EA = a \cos\ }\)


Ze znanego wzoru \(\displaystyle{ S=\frac{abc}{4R}}\) zapisanego w postaci \(\displaystyle{ R=\frac{bc}{2h_a}}\) i użytego do trójkątów \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ABD}\) dostaniemy kolejno:
\(\displaystyle{ R=\frac{a}{2 \sin } \\
r= \frac{a}{2 \cos }}\)
(*)

Z drugiej strony wiemy, że pole rombu wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ S=2a^2\cos \sin }\)

Ostatnia część rozwiązania jest czysto algebraiczna - przy użyciu (*) wyrazić \(\displaystyle{ S}\) jako \(\displaystyle{ S(R,r)}\). Pozostawiam jako ćwiczenie w przekształcaniu napisów , dodam tylko, że po drodze warto będzie skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

Pozdrawiam.
Qń.
ODPOWIEDZ