Trójkąt spodkowy

[Sylwek]

Udowodnij, że wysokości trójkąta ostrokątnego są dwusiecznymi kątów trójkąta, którego wierzchołkami są spodki wysokości.

Proszę o pomoc

[Qń]

Niech \(\displaystyle{ ABC}\) będzie danym trójkątem, \(\displaystyle{ K,L,M}\) spodkami wysokości odpowiednio wierzchołków \(\displaystyle{ A,B,C}\), a \(\displaystyle{ H}\) przecięciem wysokości naszego trójkąta.
Wskazówka - na czworokątach:\(\displaystyle{ ABKL}\), \(\displaystyle{ AMHL}\), \(\displaystyle{ BMHK}\) można opisać okręgi (widać dlaczego?). Zaś w okręgach kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. O ile się zdążyłem zorientować, Tobie tyle już powinno wystarczyć .

Pozdrawiam.
Qń.

[Sylwek]

(widać dlaczego?)

No właśnie tu była moja luka w dowodzie . Ale po przemyśleniu (a że geometria to moja pięta achillesowa): skoro wiemy, że środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie długości jego przeciwprostokątnej, toteż środek okręgu opisanego na trójkątach \(\displaystyle{ ABK}\) i \(\displaystyle{ ABL}\) jest tym samym punktem, zatem na czworokącie \(\displaystyle{ ABKL}\) można opisać okrąg. Analogicznie dla pozostałych czworokątów. Potem trzeba pooznaczać kąty i wychodzi . I za to lubię tą geometrię . Dzięki.

[Qń]

Prawdziwa jest też ogólniejsza własność - w dowolnym czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\):
\(\displaystyle{ \sphericalangle ADB = ACB }\) na \(\displaystyle{ ABCD}\) można opisać okrąg \(\displaystyle{ \Leftrightarrow ADC + ABC = 180^o}\)
Proponuję Tobie w ramach ćwiczenia (i zwalczania pięty ) udowodnić to w wolnej chwili.

Pozdrawiam.
Qń.

[Sylwek]

W jedną stronę trywialne. W drugą: \(\displaystyle{ \sphericalangle ADB = ACB }\) na ABCD można opisać okrąg. Z twierdzenia sinusów natychmiast wynika, że promienie okręgów opisane na trójkątach \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ ABC}\) są równe. Jako że kąty \(\displaystyle{ \sphericalangle ADB \ i \ ACB}\) są oparte na cięciwie jednakowej długości i każdy z nich leży na okręgu o jednakowym promieniu, to te kąty są kątami wpisanymi okręgu opisanego na czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\). Dzięki raz jeszcze

[Piotr Rutkowski]

Mhm, Sylwek, a skąd masz to zadanie bez odpowiedzi? Moim źródłem do tego zadania jest Tom I olimpiad Straszewicza (akurat tak się złożyło, że dziś je rozwiązywałem)

[Sylwek]

Miniatury matematyczne, tom 13