kwadrat, trójkąt

[jadzia!!!]

Na boku kwadratu ABCD, na zewnątrz, narysowano trójkąt równoboczny ABE. Jaka jest długość promienia okręgu przechodzącego przez punkty C,D,E, jeśli bok kwadratu ma długość a.

[Szemek]

Szukanym promieniem jest promień okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ \Delta{CDE}}\)
\(\displaystyle{ |EF|=a+\frac{\sqrt{3}}{2}a = a(1+\frac{\sqrt{3}}{2})}\)
\(\displaystyle{ |EC|=\sqrt{ ft( \frac{1}{2}a\right)^2+ ft(a(1+\frac{\sqrt{3}}{2}) \right)^2}\)
\(\displaystyle{ |EC|=\sqrt{\frac{1}{4}a^2+1\frac{3}{4}a^2+\sqrt{3}a^2}}\)
\(\displaystyle{ |EC|=a\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
\(\displaystyle{ |EC|=|ED|}\)

\(\displaystyle{ P_{\Delta{CDE}} = \frac{a^2(1+\frac{\sqrt{3}}{2})}{2}}\)

wzór na promień okręgu opisanego w dowolnym trójkącie:
\(\displaystyle{ R=\frac{abc}{4P}}\)
\(\displaystyle{ R=\frac{a\sqrt{2+\sqrt{3}} a\sqrt{2+\sqrt{3}} a}{4 \frac{a^2(1+\frac{\sqrt{3}}{2})}{2}} = \frac{a^3(2+\sqrt{3})}{a^2(2+\sqrt{3})} = a}\)
\(\displaystyle{ R=a}\)

[Qń]

A jak już się tak Szemku naliczyłeś pracowicie i na końcu wyszedł Ci taki ładny wynik, to nie miałeś myśli, że skoro taki ładny, to może da się zadanie zrobić prościej i bez rachunków?

Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie takim punktem odcinka \(\displaystyle{ EF}\), że trójkąt \(\displaystyle{ DCK}\) jest równoboczny. Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ KDAE}\) jest równoległobokiem, a nawet więcej: rombem. Stąd \(\displaystyle{ KE=KD=DA=AE=a}\). Analogicznie: \(\displaystyle{ KC=a}\). Stąd \(\displaystyle{ K}\) jest punktem równo odległym od wszystkich wierzchołków trójkąta \(\displaystyle{ CDE}\), zatem musi być środkiem okręgu nań opisanego. Tak więc promień tegoż okręgu to \(\displaystyle{ a}\).

Pozdrawiam.
Qń.