Okrąg wpisany w trójkąt
-
Andrew8902
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 12 sty 2008, o 21:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Okrąg wpisany w trójkąt
W trójkąt ABC, którego miary kątów są w stosunku 1:2:3, wpisano okrąg o promieniu długości 1. Wyznacz: a) miary katow trojkata b) obwod i pole trojkata c) pole trojkata DEF, gdzie punkty D,E,F, sa punktami stycznymi okręgu i boków trójkąta ABC
-
Mortify
- Użytkownik
- Posty: 768
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 164 razy
Okrąg wpisany w trójkąt
kąty:
\(\displaystyle{ \alpha = x
\beta = 2x
\gamma = 3x}\)
suma katow w trojkacie = 180 wiec juz wystarczy x wyznaczyc i masz katy. reszta juz z gorki
\(\displaystyle{ \alpha = x
\beta = 2x
\gamma = 3x}\)
suma katow w trojkacie = 180 wiec juz wystarczy x wyznaczyc i masz katy. reszta juz z gorki
-
wieprzucpp
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 29 wrz 2007, o 18:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 1 raz
Okrąg wpisany w trójkąt
Nie powiem, zadanie na pomyślunek ;]. Spędziłem z 10 minut zastanawiając się jak się do niego zabrać, aż w końcu wykminiłem ;]. Najpierw ładny rysunek pomocniczy ;]
images33.fotosik.pl/114/a8e8630110d7341e.jpg
Wiemy, że kąty dzielą się w stosunku 1:2:3. A więc mamy 30, 60, 90 stopni ;].
umówmy się, że alfa = 90, beta = 30, a gama = 60 stopni
Teraz zaczynają się schody. Wiemy, że miejsce w którym jest środek okręgu wpisanego, jest miejscem przecięcia się dwusiecznych kątów. Kąt OBD, gdzie O jest środkiem okręgu, ma miarę 15 stopni.
\(\displaystyle{ cos 15 = cos(45-30) = cos45*cos30 + sin45*sin30 = \frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{\sqrt{6 + 2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{6 + 2}}{2} = \frac{1}{|DB|} |DB| = \frac{2}{\sqrt{6 + 2}}}\)
A kąt ECO = 30stopni, czyli:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{|CD|} |CD| = \frac{2}{\sqrt{3}}}\)
Dodając te dwie powyżej wyliczone długości mamy odcinek |CD|, czyli:
\(\displaystyle{ \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{6 + 2}} = \frac{16\sqrt{3} + 6\sqrt{6} - 6\sqrt{2}}{24}}\)
Równie łatwo można obliczyć |AC| i |AB|, gdzie odpowiednio:
|AC| = 1 + |CD|
|AB| = 1 + |DB|
Dodając wszystkie wartości otrzymasz obwód. Mając odpowiednie boki i wiedząc, iż jest to trójką prostokątny możesz obliczyć bardzo łatwo jego pole ze wzoru : 1/2 * |AB| * |AC|
Nad ostatnim podpunktem c się zbyt długo nie zastanawiałem, ale sądzę, że jest dość prosty jeśli macie dane które napisałem powyżej. Mam nadzieje, że pomogłem. Pozdrawiam ;]
images33.fotosik.pl/114/a8e8630110d7341e.jpg
Wiemy, że kąty dzielą się w stosunku 1:2:3. A więc mamy 30, 60, 90 stopni ;].
umówmy się, że alfa = 90, beta = 30, a gama = 60 stopni
Teraz zaczynają się schody. Wiemy, że miejsce w którym jest środek okręgu wpisanego, jest miejscem przecięcia się dwusiecznych kątów. Kąt OBD, gdzie O jest środkiem okręgu, ma miarę 15 stopni.
\(\displaystyle{ cos 15 = cos(45-30) = cos45*cos30 + sin45*sin30 = \frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{\sqrt{6 + 2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{6 + 2}}{2} = \frac{1}{|DB|} |DB| = \frac{2}{\sqrt{6 + 2}}}\)
A kąt ECO = 30stopni, czyli:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{|CD|} |CD| = \frac{2}{\sqrt{3}}}\)
Dodając te dwie powyżej wyliczone długości mamy odcinek |CD|, czyli:
\(\displaystyle{ \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{6 + 2}} = \frac{16\sqrt{3} + 6\sqrt{6} - 6\sqrt{2}}{24}}\)
Równie łatwo można obliczyć |AC| i |AB|, gdzie odpowiednio:
|AC| = 1 + |CD|
|AB| = 1 + |DB|
Dodając wszystkie wartości otrzymasz obwód. Mając odpowiednie boki i wiedząc, iż jest to trójką prostokątny możesz obliczyć bardzo łatwo jego pole ze wzoru : 1/2 * |AB| * |AC|
Nad ostatnim podpunktem c się zbyt długo nie zastanawiałem, ale sądzę, że jest dość prosty jeśli macie dane które napisałem powyżej. Mam nadzieje, że pomogłem. Pozdrawiam ;]