Kwadrat i dwie proste prostopadłe

[mahila]

Witam, mam problem przy rozwiązaniu zadania:

Dany jest kwadrat K o boku a. Dwie proste prostopadłe, przecinające się w punkcie P należącym do przekątnej kwadratu K wyznaczają w tym kwadracie dwa mniejsze kwadraty \(\displaystyle{ K_{1}}\) i \(\displaystyle{ K_{2}}\) i dwa prostokąty. Wyznacz, przy jakim położeniu punktu P suma pól kwadratów \(\displaystyle{ K_{1}}\) i \(\displaystyle{ K_{2}}\) jest najmniejsza.

Na logikę, punkt P musi leżeć na środku przekątnej kwadratu K. I teoretycznie możnaby było tylko to napisać . Ale jest polecenie"wyznaczyć", zatem czy ktoś ma jakiś pomysł, jak to zrobić?

Pozdrawiam

[Zlodiej]

Zauważ, że te 2 powstałe prostokąty są identyczne, dlatego można policzyć dla jakiego położenia P pole tych prostokątów będzie maksymalne. Niech x, y będa bokami tych kwadratów oraz bokami prostokątów. Mamy znaleźć maksimum wyrazenia 2xy.

Niech punkt P podzieli przekątną na odcinki m i n. Wiemy, że:

\(\displaystyle{ m+n=\sqrt{2}a}\)

\(\displaystyle{ m=\sqrt{2}x}\)

\(\displaystyle{ n=\sqrt{2}y}\)

Podstawiasz do wyrażenia i masz: \(\displaystyle{ 2xy=2\frac{\sqrt{2}m\cdot \sqrt{2}n}{2\cdot 2}=mn=\sqrt{2}an-n^2}\)

Policz makskimum tej ostatniej fukncji znaczy się \(\displaystyle{ f(n)=-n^2+\sqrt{2}an}\)

Po wyliczeniu pochodnej i przyrównaniu do 0 mamy: \(\displaystyle{ n=\frac{\sqrt{2}}{2}a}\).

[mahila]

Heh... No liczę i cały czas mi nie wychodzi... Jeśli \(\displaystyle{ m=\sqrt{2}x}\) i \(\displaystyle{ n=\sqrt{2}y}\), to po przekształceniu, by otrzymać x i y i podstawianiu do wyrażenia 2xy, to mi wychodzi: \(\displaystyle{ 2xy=mn=na\sqrt{2}-n^2}\).

Dlaczego jest tutaj jeszcze ten pierwiastek?: \(\displaystyle{ 2xy=\sqrt{2}mn}\)

[olazola]

Sorki, że się nie wgłębiam w to Wasze rozw. według mnie to wygląda tak:
Proste dzielą kwadrat na dwa mniejsze kwadraty i prostokąt. Bok mniejszego kwadratu oznaczam jako x a resztę boku jako x-a, czyli otrzymuję:
kwadrat o boku x
kwadrat o boku a-x
2 x prostokąt o bokach x i a-x
Niech f(x) będzie funkcją sumy pól kwadratów uzależnionych od x.
\(\displaystyle{ f(x)=x^2+\(a-x\)^2\\f^{\prime}(x)=4x-2a}\)
Teraz pochodą przyrównujemy do zera i otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x=\frac{a}{2}}\)

[Zlodiej]

mahila,

Literówka... Ale tak czy siak pomimo tego, że 3 razy myliłem się w mnożeniu to za każdym razem to samo wyszło ...

olazola,

Można i tak ...

[mahila]

Dziękuję za obydwa sposoby. Chociaż z oznaczeniami olizoli jakoś łatwiej poszło