Pole okręgu wpisanego w n-kąta foremnego

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
ziemek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 14 kwie 2005, o 15:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: sie biorą dzieci??

Pole okręgu wpisanego w n-kąta foremnego

Post autor: ziemek »

Witam, mam taki o to problemik:

Oblicz pole okręgu wpisanego w n-kąta foremnego. Moze mi ktos to wyjasnic ?
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Pole okręgu wpisanego w n-kąta foremnego

Post autor: Rogal »

Po pierwsze to okrąg nie ma pola z tego co mi wiadomo, ale przypuszczam, że chodzi o koło.

Kiedy masz już to koło w sześciokącie, to poprowadź promienie jego do punktów styczności z sześciokątem. Zauważ, że średnica tego koła jest równa 'średniej' przekątnej tego sześciokąta. Znajdujesz jej długość i możesz już skorzystać ze wzoru na pole koła.
Olo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 264
Rejestracja: 18 lis 2004, o 21:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 42 razy

Pole okręgu wpisanego w n-kąta foremnego

Post autor: Olo »

No to tak, zakładamy, że masz bok "a" sześciokąta:

1.Nazwij wierzchołki ABCDEF
2.Wyznacz środek symetrii tego sześciokąta nazwij go O
3.Połącz odcinkami OA OB OC OD OE OF
4.Powstało Ci 6 trójkątów równobocznych
5.Weźmy dwa naprzeciwległe trójkąt, zauważ, że ich wysokości wspólnie tworzą odległość od dwóch naprzeciwległych boków sześciokąta.
6.To jedna taka wysokość = asqrt(3)/2 jest równa promieniowi. sqrt=pierwiastek kwadratowy
7.To pole tego koła (okrąg nie ma pola!!!) = piR^2=3/4*pi*a^2

Jakby coś trzebabyło dojaśnić to pytaj:)
ziemek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 14 kwie 2005, o 15:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: sie biorą dzieci??

Pole okręgu wpisanego w n-kąta foremnego

Post autor: ziemek »

tak panowie chodzilo mi o kolo oczywiscie dzieki za to , jeszcze mam pytanie co do pola kola w n-kącie foremnym, nie chcialem nowego tematu zakladac.
Olo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 264
Rejestracja: 18 lis 2004, o 21:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 42 razy

Pole okręgu wpisanego w n-kąta foremnego

Post autor: Olo »

tak ogólnie:
gdy a bok wielokąt b-kąt wielokata= (n-2)/2*180 n-liczba boków to:

a=2rtg((1/2)*b) wzięte z tablic, nie wiem jak wyprowadzić, może się przyda:)

Pole już łatwo wyliczyć.
Awatar użytkownika
olazola
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 811
Rejestracja: 21 paź 2004, o 13:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sopot
Pomógł: 36 razy

Pole okręgu wpisanego w n-kąta foremnego

Post autor: olazola »

Dowodzik nie jest trudny:
Każdy n-kąt foremny możemy podzielić na n trójkątów równoramiennych (można to łatwo wykazać), przyjmijmy, że kąt takiego trójkąta ma miarę α , wtedy prowadzimy wysokość tego trójkąta, która jest jednocześnie promieniem koła wpisanego w wielokąt, wiadomo również że dzieli ona kąt α na dwa równe α /2, teraz już wystarczy skorzystać z funkcji tg(&#945/2); czyli:
\(\displaystyle{ \large\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\frac{a}{2}}{r}\\\frac{a}{2}=r\tan\frac{\alpha}{2}\\r=\frac{a}{2}\cot\frac{\alpha}{2}}\)
ODPOWIEDZ